Svara i grader

Jag tycker din andra metod låter bra. Om du drar det ett steg längre och faktoriserar får du:

$2\sin x\cos x-\sin x=0$

$\sin x(2\cos x-1)=0$

Känner du till någon metod för att lösa en sådan faktoriserad ekvation?

$$\begin{gathered} 2\sin x \cos x -\sin x = 0 \\ \sin x (2\cos x -1) = 0 \\ Nollproduktsmetoden: \\ \sin x = 0 vid 0° och 180° \\ 2\cos x-1 =0 \end{gathered}$$

om jag dividerar med 2 får jag cosx - 0.5?

Det finns fler lösningar än $0^{\circ}$ och $180^{\circ}$ till $\sin x=0$. Tänk periodicitet!

På den andra kan du mycket riktigt dividera med två och få (jag tycker det är snyggare att arbeta i bråkform):

$\dfrac{2\cos x-1}{2}=\dfrac{0}{2}$

$\cos x-\dfrac{1}{2}=0$

Därefter kan du addera $\frac{1}{2}$ på båda sidor.

$$\begin{gathered} \sin x = 0 \\ {x}_1 = 0° + n * 360° \\ {x}_2 = 180° + n * 360° \\ \frac{2\cos x -1}{2} = \cos x -\frac{1}{2} = \cos x \\ \cos x = 0 \\ {x}_1= 90° + n * 360° \\ {x}_2 = 270° + n * 360° \end{gathered}$$

MonaV skrev:

$$\begin{gathered} \sin x = 0 \\ {x}_1 = 0° + n * 360° \\ {x}_2 = 180° + n * 360° \\ \frac{2\cos x -1}{2} = \cos x -\frac{1}{2} = \cos x \\ \cos x = 0 \\ {x}_1= 90° + n * 360° \\ {x}_2 = 270° + n * 360° \end{gathered}$$

 Nej vad har du skrivit på rad 4 och 5 egentligen?

Ekvationen ska vara 2cos(x) - 1 = 0

Lös den ekvationen.

$2\cos x -1 = 0$

Jag vet inte när detta är 0?

MonaV skrev:

$2\cos x -1 = 0$

Jag vet inte när detta är 0?

Då har du bara fastnat i fel tankebanor.

Ekvationen är 2*cos(x) - 1 = 0.

Börja med att addera 1 till båda sidor.

Lossnar det då?

$$\begin{gathered} 2\cos x = 1 \\ \cos x = \frac{1}{2} \\ x = {\cos }^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \\ x = 60° + n * 360° \end{gathered}$$

MonaV skrev:

$$\begin{gathered} 2\cos x = 1 \\ \cos x = \frac{1}{2} \\ x = {\cos }^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \\ x = 60° + n * 360° \end{gathered}$$

Bra, men det finns en till mängd vinklar vars cosinusvärde är 1/2.

De kan du hitta på olika sätt:

• Med hjälp av enhetscirkeln
• Genom att skissa grafen till y = cos(x)
• Genom att använda sambandet cos(v) = cos(-v).

$$\begin{gathered} x = {\cos }^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) \\ x = 120° + n * 360° \end{gathered}$$

Första raden är fel. Nej, nu tar du fram vinklar som har cosinusvärdet -1/2.

Andra raden ör rätt. Du skall ta fram fler vinklar som har cosinusvärdet 1/2. Använd enhetscirkeln. 

Om jag kollar på enhetscirkeln hittar jag för $-\frac{1}{2}$: $120° och 240°$ och för $\frac{1}{2}$: $60° och 300°$

MonaV skrev:

Om jag kollar på enhetscirkeln hittar jag för $-\frac{1}{2}$: $120° och 240°$ och för $\frac{1}{2}$: $60° och 300°$

Jag tror du blandar ihop det jag skrev om att cos(v) = cos(-v).

Det innebär i ditt fall att cos(60°) = cos(-60°).

Det innebär inte att cos(v) = 1/2 har samma lösningar som cos(v) = -1/2.

Du ska alltså inte leta efter lösningar till cos(x) = -1/2.

-------

De andra lösningarna du hittat är rätt, dvs ekvationen cos(x) = 1/2 har lösningarna

x = 60° + n*360° och

x = 300° + n*360° (vilket är samma sak som x = -60° + n*360°)

Jaha bara så? 

$$\begin{gathered} x = {\cos }^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) + n * 360° \\ x = 60° + n * 360° \\ och \\ x = -60° + n * 360 \end{gathered}$$

Jag ska inte lägga p en period?

MonaV skrev:

Jaha bara så? 

$$\begin{gathered} x = {\cos }^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) + n * 360° \\ x = 60° + n * 360° \\ och \\ x = -60° + n * 360 \end{gathered}$$

Jag ska inte lägga p en period?

Ja det stämmer. Och du har ju lagt på en period. Det är det som termerna n*360° avser.

-------

Glöm inte att ta med de första lösningarna du hittade, de som var till ekvationen sin(x) = 0. Om du vill kan du förenkla just de lösningsmängderna till x = n*180°. Ser du varför?

Jag har:

$$\begin{gathered} \sin x = 0 \\ {x}_1 = 0 ° + n * 360° \\ {x}_2 = 180° + n * 360° \\ 2\cos x - 1 = 0 \\ {x}_{1 } = 60° + n * 360° \\ {x}_{2 } = -60° + n * 360° \end{gathered}$$

Jag menade att lägga på en period på -60 för att få borde det negativa så den ist blir: $120° + n * 180°$

Yngve skrev:

MonaV skrev:

Jaha bara så? 

$$\begin{gathered} x = {\cos }^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) + n * 360° \\ x = 60° + n * 360° \\ och \\ x = -60° + n * 360 \end{gathered}$$

Jag ska inte lägga p en period?

Ja det stämmer. Och du har ju lagt på en period. Det är det som termerna n*360° avser.

-------

Glöm inte att ta med de första lösningarna du hittade, de som var till ekvationen sin(x) = 0. Om du vill kan du förenkla just de lösningsmängderna till x = n*180°. Ser du varför?

 $$\begin{gathered} 0° + n * 360° \\ Kan jag väl skriva som x = n*360° \end{gathered}$$

Men $x = n * 180°$ förstår jag inte.

För vilka vinklar v gäller att $\sin v=0$?

Smaragdalena skrev:

För vilka vinklar v gäller att $\sin v=0$?

 $0° och 180°$

MonaV skrev:

Smaragdalena skrev:

För vilka vinklar v gäller att $\sin v=0$?

 $0° och 180°$

 Ser du likheten med $v=n\cdot180^o$?

Smaragdalena skrev:

MonaV skrev:

Visa föregående citat

Smaragdalena skrev:

För vilka vinklar v gäller att $\sin v=0$?

 $0° och 180°$

 Ser du likheten med $v=n\cdot180^o$?

 Ja, då ser jag visste inte att man kunde/fick skriva så :) 

Sista frågan jag har är om 2cosx -1

Ska svaret där vara:

 $$\begin{gathered} 60° + n * 360° \\ och \\ -60° + n * 360° \\ eller \\ 60° + n * 360° \\ och \\ 120° + n * 180° \end{gathered}$$

2cosx -1 är ingen ekvation. Jag gissar att du menar 2cosx -1=0.

Den översta varianten är lösningen till ekvatinen 2cosx -1=0 och den nedersta är lösningen till ekvationen 2sinx-1=0, om det hade stått 360 grader på slutet.

Ja men då är det ju :

$$\begin{gathered} \sin x = 0 \\ x = n * 180° \\ \cos x -1 =0 \\ {x}_1 = 60° + n * 360° \\ {x}_2 = -60° + n * 360° \end{gathered}$$

det inringade ska inte vara med i uträkningen va?

Eftersom det ger $120° + n * 360°$

Det stämmer att det i den röda ringen skall bort. Däremot saknas raden "eller $x={180}^o-{\cos }^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)+n·{180}^o$".

Smaragdalena skrev:

Det stämmer att det i den röda ringen skall bort. Däremot saknas raden "eller $x={180}^o-{\cos }^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)+n·{180}^o$".

 Ja precis, vilket blir: $x = 120° + n * 180°$, så x = $-60° + n * 360° ska bort?$

MonaV skrev:

Smaragdalena skrev:

Det stämmer att det i den röda ringen skall bort. Däremot saknas raden "eller $x={180}^o-{\cos }^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)+n·{180}^o$".

 Ja precis, vilket blir: $x = 120° + n * 180°$, så x = $-60° + n * 360° ska bort?$

 Nu börjar det bli rörigt.

Jag beskriver nu ett lösningsförslag. Det är viktigt att du förstår alla steg i lösnongen och att du förstår varför man tar just de stegen. Fråga om det som inte är fullständigt klart för dig. 

---------

Uppgift: Lös ekvationen $2sin(x)cos(x) =sin(x)$ fullständigt. Svara i grader.

Lösningsförslag: Subtrahera $sin(x)$ från båda sidor och faktorisera vänsterledet:

$sin(x)(2cos(x)-1)=0$

Nollproduktmetoden ger nu två lösningar:

1. $sin(x)=0$, med lösningsmängd $x_1=n\cdot 180^\circ$

2. $2cos(x)-1=0$, dvs $cos(x)=\frac{1}{2}$, med lösningsmängder

$x_2=60^\circ+n\cdot 360^\circ$ och $x_3=-60^\circ+n\cdot 360^\circ$ 

Svar: Ekvationen har lösningsmängderna

$x_1=n\cdot 180^\circ$

$x_2=60^\circ+n\cdot 360^\circ$

$x_3=-60^\circ+n\cdot 360^\circ$

Jag förstår alla steg, men har en fråga från detta steg:

$\sin x 2\cos x -\sin x$ till $\sin x (2\cos x -1)$ hur blir sinx= 1?

Och något jag tänkt på med andra uppgifter jag gjort är om man bara kan flytta 2:an sådär, har inte riktigt förstått hur det går till trots att jag gjort det själv.

sinx blir inte 1, var står det att det blir det?

I ett uttryck som är en produkt av tre faktorer a, b och c, så kan du flytta runt dem hur du vill: a(bc), bac, cab, etc. Så du kan bryta ut sinx från 2sinxcosx eftersom det är samma som (sinx)*2*(cosx).

Laguna skrev:

sinx blir inte 1, var står det att det blir det?

I ett uttryck som är en produkt av tre faktorer a, b och c, så kan du flytta runt dem hur du vill: a(bc), bac, cab, etc. Så du kan bryta ut sinx från 2sinxcosx eftersom det är samma som (sinx)*2*(cosx).

 Kanske uttryckte mig dumt detta jag menar:

Okej, tack då förstår jag det sistnämnda :)

Edit: tog fel bild!

MonaV skrev:

Jag förstår alla steg, men har en fråga från detta steg:

$\sin x 2\cos x -\sin x$ till $\sin x (2\cos x -1)$ hur blir sinx= 1?

Och något jag tänkt på med andra uppgifter jag gjort är om man bara kan flytta 2:an sådär, har inte riktigt förstått hur det går till trots att jag gjort det själv.

...

Uttrycket 2*A*B - A består av 2 termer. Båda termerna har den gemensamma faktorn A. Om du bryter ut den gemensamma faktorn A så blir resultatet A*(2*B - 1). Dvs 2*A*B - A = A*(2*B - 1).

På exakt samma sätt: Uttrycket 2*sin(x)*cos(x) - sin(x) består av 2 termer. Båda termerna har den gemensamma faktorn sin(x). Om du bryter ut den gemensamma faktorn sin(x) så blir resultatet sin(x)*(2*cos(x) - 1). Dvs 2*sin(x)*cos(x) - sin(x) = sin(x)*(2*cos(x) - 1).

Yngve skrev:

MonaV skrev:

Jag förstår alla steg, men har en fråga från detta steg:

$\sin x 2\cos x -\sin x$ till $\sin x (2\cos x -1)$ hur blir sinx= 1?

Och något jag tänkt på med andra uppgifter jag gjort är om man bara kan flytta 2:an sådär, har inte riktigt förstått hur det går till trots att jag gjort det själv.

...

Uttrycket 2*A*B - A består av 2 termer. Båda termerna har den gemensamma faktorn A. Om du bryter ut den gemensamma faktorn A så blir resultatet A*(2*B - 1). Dvs 2*A*B - A = A*(2*B - 1).

På exakt samma sätt: Uttrycket 2*sin(x)*cos(x) - sin(x) består av 2 termer. Båda termerna har den gemensamma faktorn sin(x). Om du bryter ut den gemensamma faktorn sin(x) så blir resultatet sin(x)*(2*cos(x) - 1). Dvs 2*sin(x)*cos(x) - sin(x) = sin(x)*(2*cos(x) - 1).

 Okej! Tack :)