Svår uppgift, hur hade du löst den på enklast sätt

Hur jag skulle lösa uppgiften:

Vi vet att hälften av kol-14 försvinner efter 5730 år. Då kan vi säga att 
$\displaystyle C \cdot 2^{-k\cdot 5730} = \frac C2$
Vi vill lösa ut $k$. Finns två sätt.
Vi kan göra det med logaritmer såhär:
$\displaystyle C \cdot 2^{-k\cdot 5730} = \frac C2$
Dividera med $C$ på båda sidor
$\displaystyle 2^{-k\cdot 5730} = \frac 12$
Ta logaritmen på båda sidor
$\displaystyle \log{(2^{-k \cdot 5730})} = \log{\frac 12} = -\log{2}$
Använd logaritmlagar
$-k \cdot 5730 \cdot \log 2 = -\log 2$
Dividera med $\log 2$ på båda sidor
$\displaystyle -k \cdot 5730 = \frac{-\log 2}{\log 2}$
Förenkla HL
$\displaystyle -k \cdot 5730 = -1$
Dividera båda sidor med $-5730$
$\displaystyle k = \frac{1}{5730}$

Alternativt kan man se det på faktumet att exponenterna måste matcha:
$\displaystyle 2^{-k \cdot 5730} = \frac 12 = 2^{-1}$
Alltså $2^{-k \cdot 5730} = 2^{-1}$
Då måste $-k \cdot 5730 = -1$ 
Härifrån kan vi lösa ut $k$ och få samma sak som med logaritmerna

Då har vi att funktionen är $\displaystyle y = C \cdot 2^{-\frac{x}{5730}}$

Nu ska vi räkna ut hur gammal skon är om den hade 65.5% kvar år 2006. Då kan vi ställa upp ekvationen
$\displaystyle 0.655 C = C \cdot 2^{-\frac{x}{5730}}$
Notera att $x$ är åldern på skon. Eftersom modellen är baserad på hur lång tid det gått. 
Vi kan lösa ut $x$ såhär:
$\displaystyle 0.655 C = C \cdot 2^{-\frac{x}{5730}}$
Dela med $C$ på båda sidor
$\displaystyle 0.655  =2^{-\frac{x}{5730}}$
Ta logaritmen av båda sidor
$\displaystyle \log{(0.655)}  =\log{( 2^{-\frac{x}{5730}})}$
Använd logaritmlagar på HL
$\displaystyle \log{(0.655)}  =-\frac{x}{5730} \cdot \log{( 2)}$
Dividera båda sidor med $\log 2$
$\displaystyle \frac{\log{(0.655)}}{ \log{( 2)}} = -\frac{x}{5730}$
Multiplicera båda sidor med $-5730$
$\displaystyle \frac{-5730\log{(0.655)}}{ \log{( 2)}} = x$
$\displaystyle x \approx 3497.78 \approx 3498$ år. 
Skon var 3498 år gammal år 2006 (kanske ska avrundas till 3500 år)

Jag skrev detta lite snabbt, så om något är otydligt kan du gärna fråga!

Jag skulle göra så här:

$0,655=0,5^{\frac{t}{5730}}$

Den kan lösas grafiskt eller med logaritmer.

$$\begin{gathered} \log 0,655 = \frac{t}{5730}\log 0.5 \\ t=5730·\frac{\log 0,655}{\log 0,5}=3497,782...\approx 3 500 \end{gathered}$$

Okej, tack för svaren. Ska se om jag kan försöka lösa uppgiften med hjälpen här. Kommer nog ta ett tag, för jag skriver ner och förklarar (med ord) efter varje steg så jag kan påminna mig själv om varför jag gör ett viss steg (om jag skulle glömma bort det), när jag kommer tillbaka till uppgiften efter att ha räknat andra. 

De första svaret jag fick var typ så läraren skrev, fast din förklaring så där steg för steg är enklare att förstå. Den andra förklaringen är också bra, men känner mig inte tillräckligt bra på matte för att kunna skriva så. Det typ syns att du förstår matte bra så vissa steg (som är självklara för typ er som kan) i din uträkning inte behövs skrivas med. Tyvärr behöver jag typ allt nedskrivet och fastnar när något bara ändras eller försvinner utan liksom att man ser hur typ. Vet inte hur jag ska förklara, hur som, tack ska se om jag kan lösa de här.

Ok.

Antag att du har 100 g ett radioaktivt ämne med halveringstid $T_{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}$.

Efter en halveringsperiod är det $100 · {\left(\frac{1}{2}\right)}^1=50$g kvar.

Efter två halveringsperioder är det $100 · {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=25$ o.s.v.

Andel som är kvar är $25\%=\frac{25}{100}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2$

Så, andelen som är kvar efter x halveringsperioder är $\text{Andel }= {\left(\frac{1}{2}\right)}^x$

$T_{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}= 5 730 \text{år}$ för kol-14.

Vi har ett föremål som legat i $t$ år.

Hur många halveringsperioder har gått?

Antal halveringsperioder är $\frac{t}{5730}$

65,5% = 0,655 är andelen i uppgiften.

Då får vi $0,655 = {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{5730}}$

Okej, tack.