Trigonometrisk uppgift om sinus funktion
En allmän sinuskurva kan skrivas på formen y=Asinb(x+c)+d
där vi (i denna uppgift) arbetar i radianer.
a) Ge exempel på en sinuskurva som har största värde 8 och minsta värde 2.
b) Ge exempel på en sinuskurva som har största värde 8, minsta värde 2 och som går genom punkten (π/6 ; 5).
c) Ge exempel på en sinuskurva som, utöver villkoren i b), också uppfyller att ekvationen f′(x)=0 har exakt tre lösningar i intervallet 0≤x≤2π
d) Ange det minsta positiva värde på b som ger en kurva som uppfyller villkoren i c).
e) Finns det ett största värde på b som ger en kurva som uppfyller villkoren i c)?
=====
I a så fick jag y=3sin(x)+5
Men hur ska jag tänka i b?
b) 3*sin(x-π/6)+5, alltså a)-svaret förskjutet 30 grader.
b) Du gör på samma sätt som du gjort i mängder med uppgifter. Eftersom du fått en punkt så har du både x- och y-värde. Då kan du beräkna x-förskjutningen. Eftersom du inte vet något om perioden väljer du något enkelt, k=1. Du ska skapa en kurva som går genom en punkt och det finns oändligt många sådana med olika k.
Hur ska jag tänka i c?
c) Tänk så här:
Du vill inte ändra "x-pi/6" eftersom det ger punkten från b som ska vara uppfylld. Även om du tar ett annat b än b=1 ändrar sig inte den punkten, dvs sin(b(x-pi/6)) är ju 5 för x=pi/6 oavsett b.
Däremot är perioden b bra för att justera till antal skärningar lösningar till f'(x)=0.
Hur hittar man en lagom b?
Antingen funderar du ut att med b=1 är perioden 2pi. Dvs det bör finnas 2 skärningar med x-axeln
Och om b=4 är perioden pi. dvs det bör finnas 4 skärningar. Då kan man ta ett bra b.
Eller så funderar man inte och bara kör på, dvs deriverar och löser:
Derivera y=3sin(b(x-pi/6))+5 och lös f'(x)=0
Lösningarna kommer bli något med b, då kan du välja b för att få rätt antal lösningar.
