Svår integralekvation:

Rationella uttryck är djävulens verktyg. Testa alltid att skriva ens uttryck utan bråkstreck dvs som

$3f'(x) f(x)^2 = f(x)^3 + x$

Det går att göra en omskrivning av vänsterledet som får polletten att falla ner. 3:an är en ledning.

(Jag har tagit mig friheten att tolka $f^3(t)$ som en felskrivning av notationen $f(t)^3$ dvs tredjepotensen av funktionens värde)

Hm,, ser inte den omskrivningen på momangen faktiskt. Menar du att jag ska tänka att det är produkten av en derivata baklänges i VL eller?

Jämför med $(f(x)^2)' = 2f'(x)f(x)$ vilket följer av kedjeregeln. Du han använda något liknande för vänsterledet.

Denna typ av omskrivning när vi har produkter av en funktion och dess derivata är ett ganska vanligt trick i diffekvationer.

Yes smart. (f(x)^3)' = 3f(x)^2 * f'(x)

Ska jag sedan integrera båda led eller?

Kvadratenskvadrat skrev :

Yes smart. (f(x)^3)' = 3f(x)^2 * f'(x)

Ska jag sedan integrera båda led eller?

På sätt och vis men går inte bara att göra rakt av, men klura på det.

Hej!

Problemet är svårare än vad som hittills diskuterats i tråden: Du vet inte om funktionen $f$ är deriverbar; det enda du kan säga är att $f : [1,\infty) \to \mathbf{R}$ är kontinuerlig. Om du vill kunna derivera funktionen så måste du först bevisa att en kontinuerlig funktion som uppfyller integralekvationen också är deriverbar.

Ekvationen kan skrivas

    $f(x) = f(1) + \frac{1}{3}\int_{1}^{x}\frac{t+(f(t))^3}{(f(t))^2}\,\text{d}t\ .$

Albiki