Svår gränsvärdes beräkning

Hej!

jag undrar om någon kan hjälpa mig hur jag kan tackla ett sånt här problem?

$\lim_{x\to\infty}\frac{arctan(\sqrt2(x-\frac{1}{\sqrt2}))-\frac{1}{2}ln(2(x-\frac{1}{\sqrt2})^2+1)}{2\sqrt2}+\frac{arctan(\sqrt2(x+\frac{1}{\sqrt2}))+\frac{1}{2}ln(2(x+\frac{1}{\sqrt2})^2+1)}{2\sqrt2}$

Jag har börjat med att förenkla arctan-uttrycken till $\frac{pi}{2}$ . Tänker jag rätt eller borde jag börja med ngt annat?

Det skulle kanske va då att man ev. ska krångla med:

$\frac{p i}{2} + n * 2 p i$

Att du har förenklat arctan-uttrycken till $\frac{π}{2}$ låter som att du "stoppat in oändligheten" i ekvationen i just arctan-utrycken och fått $\frac{π}{2}$ , stämmer det?

Edit:

Titta på din ekvation. Samma nämnare innebär att vi kan skriva allt på gemensamt bråkstreck. Eftersom arctan-uttrycken är uppenbart enkla att lösa (utveckla dem så ser du) så kan vi bryta isär ekvationen så att du får arctan-uttrycken på gemensamt bråkstreck, och logaritmerna på ett eget gemensamt bråkstreck. Detta gör vi eftersom $\lim_{x \to \infty} (a + b) = \lim_{x \to \infty} a + \lim_{x \to \infty} b$ . Vi kan alltså snabbt beräkna gränsvärdet för arctan så då är det smidigt att "bryta ut" dem.

Kvar har vi nu gränsvärdet av logaritmerna. Börja med att utveckla det som står inom båda logaritmerna. Lägg märke till att bråket har formen $\frac{\ln (a) - \ln (b)}{c}$ , använd logaritmlagen och slå ihop dem. Det som nu står inom parentesen är säkert jobbigt att se vad som händer då $x \to \infty$ , så bryt ut den dominerande x-termen. Kan du beräkna gränsvärdet nu?

Du kan använda en logaritmlag för att förenkla alla termer som har logaritmen i sig. Sedan kan du fundera på vilka termer som dominerar då $x \to \infty$ i det uttrycket du får för logaritmerna.

Svara

Visa senaste svar