Svår flervariabelfråga

Blir det enklare att räkna i polära koordinater?

Dr. G skrev:

Blir det enklare att räkna i polära koordinater?

Ingen aning hur du tänker där..

Då blir det

$\dfrac{8}{r^2+1}+2r^2\sin 2\theta$

Det framgår då i vilka riktningar som man får min och max, så man slipper ta gradienten i polära koordinater (vilket kan vara lite trist).

Dr. G skrev:

Då blir det

$\dfrac{8}{r^2+1}+2r^2\sin 2\theta$

Det framgår då i vilka riktningar som man får min och max, så man slipper ta gradienten i polära koordinater (vilket kan vara lite trist).

Nu hänger jag ej med. Såhär gjorde jag 

Polära koordinater:

$x=r\cos \theta$

$y = r\sin\theta$

Området är cirkulärsymmetriskt och ges av 

$\frac{1}{4}\leq r \leq 2$

Det är då ofta smidigt att använda polära koordinater. 

Gradienten är 0 i min och max. Uttrycket för gradient är inte så jobbigt i polära koordinater (jag tänkte fel).

Tillägg: 23 nov 2023 20:05

1/4 < r² < 2 skulle det vara

Dr. G skrev:

Polära koordinater:

$x=r\cos \theta$

$y = r\sin\theta$

Området är cirkulärsymmetriskt och ges av 

$\frac{1}{4}\leq r \leq 2$

Det är då ofta smidigt att använda polära koordinater. 

Gradienten är 0 i min och max. Uttrycket för gradient är inte så jobbigt i polära koordinater (jag tänkte fel).

Okej men är mitt uttryck med polära fel eller så? Jag tänkte börja derivera osv här?

Detta är vad jag fick

Du kan inte sätta ett fixt värde på r. Då får du t.ex bara med ena randen. r varierar mellan 1/2 och sqrt(2). Jag använde dubbla vinkeln för sinus för att förenkla xy-termen. 

Dr. G skrev:

Du kan inte sätta ett fixt värde på r. Då får du t.ex bara med ena randen. r varierar mellan 1/2 och sqrt(2). Jag använde dubbla vinkeln för sinus för att förenkla xy-termen. 

Jag vet ej vad du gör här. Men jag har fått max och min nu med radie =2. Så nu gör jag samma sak för radie =1/4. Sen svarade du ej på min tidigare fråga och pratade förbi mig om jag gjorde rätt men aja antar allt är fel 

Jag kan ta allting från början lite senare i kväll. 

Dr. G skrev:

Jag kan ta allting från början lite senare i kväll. 

Jag har tyvärr ej den möjligheten isåfall tar jag frågan vidare någon annnanstans eller håller tummarna för att någon annan svarar istället.

Omvandla till polära koordinater

$\dfrac{8}{(r\cos\theta)^2+(r\sin\theta)^2+1}+4(r\cos\theta)(r\sin\theta)$

förenkla (trigettan och dubbla vinkeln för sinus)

$\dfrac{8}{r^2+1}+2r^2\sin 2\theta$

Den första termen är positiv. Den andra är maximalt positiv när sin(2θ) = 1 och maximalt negativ när sin(2θ) = -1.  Man bör då ha maximum i θ = 45° och -135° och minimum i θ = -45° och 135°.

Jag skulle nu sätta sin(2θ) = 1 och hitta det r-värde som maximerar funktionen (vanlig envariabelanalys) för det aktuella r-intervallet. Sedan likadant för sin(2θ) = -1. 

Du kan även gå via att gradienten ska vara noll(vektorn), vilket ger df/dr = 0 och 1/r*df/dθ = 0. 

Dr. G skrev:

Omvandla till polära koordinater

$\dfrac{8}{(r\cos\theta)^2+(r\sin\theta)^2+1}+4(r\cos\theta)(r\sin\theta)$

förenkla (trigettan och dubbla vinkeln för sinus)

$\dfrac{8}{r^2+1}+2r^2\sin 2\theta$

Den första termen är positiv. Den andra är maximalt positiv när sin(2θ) = 1 och maximalt negativ när sin(2θ) = -1.  Man bör då ha maximum i θ = 45° och -135° och minimum i θ = -45° och 135°.

Jag skulle nu sätta sin(2θ) = 1 och hitta det r-värde som maximerar funktionen (vanlig envariabelanalys) för det aktuella r-intervallet. Sedan likadant för sin(2θ) = -1. 

Du kan även gå via att gradienten ska vara noll(vektorn), vilket ger df/dr = 0 och 1/r*df/dθ = 0. 

Jag löste uppgiften. Tack ändå!