Svängningar

ssoma02 skrev:

Hej! Jag förstår inte hur man ska kunna identifiera vad det är för typ av svängning eller om det ens är någon svängning baserat på en ekvation.  Hur skulle man göra i nedanstående fråga?

 

Du kanske tycker annorlunda, men jag tycker det är enklare att se att my"+cy'-ky = 0 är en andra ordningens diffekvation än när det ser ut som i uppgiften! Kommer du ihåg att lösningen till en andra ordningens diffekvation antingen är en exponentialfunktion, en kombination av trigonometriska funktioner eller en produkt av båda sorterna? Är du med på varför detta är relevant för den här frågan?

Ja jag kommer ihåg. Men är inte riktigt med på varför det är relevant är det för att sin och cos beskriver svängningsfunktioner?

Vilka funktioner skulle du använda för att beskriva något som rör sig regelbundet (t ex) upp och ner, med andra ord en svängning?

någon trigonometrisk funktion?

Exakt. Hur skulle du beskriva en funktion som svänger, men där svängningarna blir mindre och mindre med tiden?

En enkel harmonisk svängning är lösningen av differentialekvationen ${m\ddot x} = -kx$ som man känner igen som att $ma$ ges av Hookes lag (är proportionell mot en fjäderkonstant gånger ett avstånd). Frågan är om tecknet stämmer med oscillation.

Sedan finns en dämpningsterm proportionell mot hastighet (eller ström). Även där ska man kolla tecken.

Man ser omedelbart den triviala lösningen $x(t)=0.$ Vad kan man dra för slutsats av det?

jag vet faktiskt inte vad man kan dra av den slutsatsen, något förslag :)

Det här är en ren faktafråga om man kan modellen för en dämpad harmonisk svängning

Den allmänna formen är

$m\ddot x + c\dot x + k x = f(t)$

där $m$ är massan, $c$ är dämpningsfaktorn, $k$ är fjäderkonstanten, och $f(t)$ är den externa drivkraften.

• Om $c = 0$ så är oscillationen odämpad. Om $c \neq 0$ så är den dämpad.
• Om $f(t) = 0$ så är oscillationen påtvingad. Om $f(t) \neq 0$ så är den påtvingad. f(t) representerar en yttre kraft, separat från fjädern, som verkar på massan.

I ditt fall är c inte 0 så den är dämpad, och i ditt fall är f(t) = 0 så den är inte påtvingad.

Att besvara hur man läser ekvationen och matchar till orden är alltså trivialt.

Om du inte känner igen vad m,c,k, och f representerar fysikaliskt så är behöver du gå tillbaka och lära sig vad ekvationen fysikaliskt representerar.

Ja precis! Jag fick svaret dämpad och icke påtvingad. Men i facit så stor det att det inte är en svängning och därav blev jag förvirrad. Jag känner igen den allmänna formel och har tidigare alltid fått rätt men förstår inte varför det här inte är en svängning :/

ssoma02 skrev:

 Men i facit så står det att det inte är en svängning och därav blev jag förvirrad. Jag känner igen den allmänna formel och har tidigare alltid fått rätt men förstår inte varför det här inte är en svängning :/

Som jag skrev: akta tecknet!

Vad händer om man sätter in $x(t)=Ae^{i\omega t}$ in i $m{\ddot x} - kx = 0$?

(Eller $x(t) = A \sin \omega t.$)

det blir ingen sväning eftersom det blir en exponential funktion?

ssoma02 skrev:

det blir ingen svängning eftersom det blir en exponential funktion?

Exakt.

Och som svar på din tidigare fråga: om $x(t)=0$ är en lösning kan det inte finnas en påtvingande kraft.

när vet man om man ska sätta in de variablerna på x?

ssoma02 skrev:

när vet man om man ska sätta in de variablerna på x?

Inte variabler, du menar nog funktioner. En differentialekvation är en ekvation för funktioner.

Här är uppgiften bara att kolla om en oscillerande funktion kan vara en lösning av denna diffekvation.