Surprise me: exempel på vektorrum

Vektorrummet som spänns upp av basen 

$\mathfrak{B}=\left\{\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\right\}$

är ett vektorrum innehållande alla symmetriska (2x2)-matriser. 

Mängden av alla kontinuerliga funktioner från R till R definierade på intervallet [0,1]

Tal kan vara vektorer! Några exempel (i ökande grad av funkighet):

• De reella talen $\mathbb{R}$ är ett vektorrum över sig självt, under vanlig addition och multiplikation.
• De komplexa talen $\mathbb{C}$ är ett vektorrum över de reella talen $\mathbb{R}$, under vanlig addition och multiplikation. (Dock är detta i princip bara $\mathbb{R}^2$ i förklädnad, så det kanske inte räknas? ;) )
• De reella talen $\mathbb{R}$ är ett vektorrum över de rationella talen $\mathbb{Q}$, under vanlig addition och multiplikation. (Men jag tror ingen människa skulle kunna beskriva en bas för det här vektorrumet!)
• De positiva reella talen $\mathbb{R}^+$ är ett vektorrum över $\mathbb{R}$, under additionsoperationen $x\oplus y=x\cdot y$ (vanlig multiplikation av reella tal, där talet $1$ spelar rollen som vektorrummets nolla) och skalningsoperationen $\lambda{.}x=x^\lambda$ (vanlig expoentiering). [Övning: Vad har det här vektorrummet för dimension? Ge exempel på en bas.]

Kontrollera gärna att exemplen som du får i den här tråden stämmer med den formella definitionen av vektorrum och skalärer.

En naturlig fortsättning på de klassiska exemplen $\mathbb{R}$ (tal), $\mathbb{R}^2$ (talpar), $\mathbb{R}^3$ (triplar) och så vidare, är att titta på mängden av alla tuplar av oändlig längd (dvs. talföljder):

$\mathbb{R}^\mathbb{N}=\{(a_n)_{n=1}^\infty:a_n\in\mathbb{R}\:\forall n\}\,,$

som bildar ett vektorrum över $\mathbb{R}$ under komponentvis addition och skalning:$$

$(a_n)_{n=1}^\infty+(b_n)_{n=1}^\infty=(a_n+b_n)_{n=1}^\infty$

$\lambda.(a_n)_{n=1}^\infty=(\lambda a_n)_{n=1}^\infty\,.$

(Här är $(a_n)_{n=1}^\infty$ ett förkortat skrivsätt för talföljden $(a_1,a_2,a_3,\ldots)$.)

Det här vektorrummet har även en del intressanta underrum. Till exempel kan man titta på mägden av talföljder som konvergerar till 0:

$c_0=\{(a_n)_{n=1}^\infty:\text{$a_n\to 0$ as $n\to\infty$}\}\,.$

Lite frågor att fundera på:

• Kan du ge exempel på några talföljder som ligger i $c_0$, samt några exempel på talföljder som inte ligger i $c_0$?
• Är $c_0$ verkligen slutet under addition och skalning?
• Varför är $c_1=\{(a_n)_{n=1}^\infty:\text{$a_n\to 1$ as $n\to\infty$}\}$ inte ett vektorrum över $\mathbb{R}$ under komponentvis addition och skalning?

Ett annat mycket intressant underrum får man om man tar mängden av alla talföljder sådana att utvidgningen av den vanliga skalärprodukten och storleksbegreppet (aka 2-normen) i $\mathbb{R}^n$ makear sense. Mer precist sätter man

$\ell^2=\{(a_n)_{n=1}^\infty:\sum_{n=1}^\infty a_n^2<\infty\}\,,$

och på dessa vektorer kan man nu definiera en skalärprodukt på följande vis:

$(a_n)_{n=1}^\infty\bullet (b_n)_{n=1}^\infty=\sum_{n=1}^\infty a_nb_n\,.$

Att det här vektorrummet kommer utrustat med en skalärprodukt (och mer precist är ett så kallat Hilbert-rum) gör det mycket trevligare än många av de andra exemplen på oändligt-dimensionella vektorrum som vi håller på att kasta på dig. Anledningen kan, i grund och botten, sägas vara att skalärprodukten gör det möjligt att tala om ortogonalitet, vilket du säkert redan i din linalg kurs har märkt är ett väldigt användbart koncept i bevis och liknande.

Mer om hur ortogonalitet (och andra idéer från ändligt-dimensionell linjär algebra) går att utnyttja i oändligt-dimensionella vektorrum lär man sig i ett ämne som kallas för funktionalanalys, där $\ell^2$ visar sig vara ett väldigt centralt exempel.

Om du gillar riktigt stora vektorrum, så skulle vi kunna dra till med mängden av alla realvärda funktioner på någon viss definitionsmängd. Låt oss för enkelhetens skull ta intervallet $[0,1]$, så som parveln gjorde i sitt exempel (men vi skulle lika gärna kunna ta exv. hela $\mathbb{R}$ som vår definitionsmängd). Mer precist kommer mängden

$\mathcal{F}[0,1]=\{f:[0,1]\to\mathbb{R}\}$

att bilda ett vektorrum över $\mathbb{R}$ under punktvis addition och skalning. Med det menar jag att summan av två funktioner $f,g\in V$ erhålls genom att sätta $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ för alla $x\in [0,1]$, och att en funktion $f\in V$ kan skalas med en faktor $\lambda\in\mathbb{R}$ genom att sätta $(\lambda f)(x)=\lambda f(x)$ för alla $x\in [0,1]$.

Underrummet $\mathcal{C}[0,1]=\{f:[0,1]\to\mathbb{R}:\text{$f$ is continuous}\}$ som parveln nämner är även det ett mycket stort rum.

Tycker man om analys skulle man kunna få fram ytterligare exempel på stora underrum, men med allt "snällare" funktioner på följande vis:

$\mathcal{C}^1[0,1]=\{f:[0,1]\to\mathbb{R}:\text{$f'$ exists and is continuous}\}$

$\mathcal{C}^2[0,1]=\{f:[0,1]\to\mathbb{R}:\text{$f''$ exists and is continuous}\}$

$\vdots$

$\mathcal{C}^\infty[0,1]=\{f:[0,1]\to\mathbb{R}:\text{$f$ is smooth}\}\,.$

Övertyga dig gärna om att alla de här vektorrummen som jag raddar upp nu verkligen är slutna under additon och skalning.

Egentligen off topic, men om du gillade faktumet att mängden $\mathcal{P}$ av alla polynom med reella koefficienter är ett vektorrum över $\mathbb{R}$ (under vanlig additon och skalning), så skulle du kanske uppskatta att fundera på hur deriveringsoperatorn $D:\mathcal{P}\to\mathcal{P}$ (som är en linjär avbildning!) kan beskrivas med en matris. Se gärna den här videon av 3blue1brown där detta diskuteras mer ingående.

Med en mer abstrakt definition av polynom hade du blivit mindre förvånad! Man kan definiera ett polynom som en funktion c(n) från naturliga talen N till en kropp K (tänk reella eller komplexa tal) som endast antar nollskilda värden ett ändligt antal gånger. Du kan se c(n) som koefficientfunktionen som ger koefficienten framför $x^n$ för att koppla det till den vanliga definitionen. Då blir vektorrummet av polynom bara generaliseringen av $R^n$ till $R^{\infty }$ (koprodukt, eller direkt summa, av uppräkneligt många kopior av $R$).

Det här är ett annat delrum av $R^N$ som oggih nämnde.

Mer generellt kan du ta en godtycklig mängd $X$ och betrakta funktioner från $X$ till $K$ (en kropp, t ex reella eller komplexa tal) och du får ett vektorrum över $K$ med punktvis addition och multiplikation med skalär precis som de exempel på funktionsrum som redan nämnts. Då får du ett vektorrum vars bas har samma kardinalitet som $X$. På det sättet kan du skapa vektorrum av godtycklig storlek. I själva verket kan alla vektorrum skrivas på det sättet givet att man väljer en bas i vektorrummet (men att en bas finns är icke-trivialt och är avhängigt av urvalsaxiomet och i allmänhet inte konstruktivt). Så de funktionsrum som nämnts är exempel där basen inte är naturlig att välja (eller inte går att välja konstruktivt), det är kanske det som är det överraskande. I det skenet är vektorrummet av polynom i liknande anda eftersom valet av monom som bas är ganska godtyckligt (t ex centrerat till att en punkt, 0, ska vara speciell).

Om du ser 2x2-matriser som element i $R^4$ genom att räkna upp matrisens element i en vektor så är exemplet från pepparkvarn bara ett underrum med ett linjärt bivillkor (diagonalelementen ska vara lika).

Något som jag brukar ta som exempel på lite mer abstrakt vektorrum är annars vektorrummet av stokastiska variabler, men det är egentligen samma exempel som funktionsrum där definitionsmängden är utfallsrummet och att man har lite mer struktur med ett sannolikhetsmått.

Men apropå det och oggih's exempel med $R^{+}$ så är det inre av triangeln med hörn i (1,0,0), (0,1,0) och (0,0,1) ett vektorrum med additionen

$(x_1,x_2,x_3)+(y_1,y_2,y_3) =\hspace{0.17em}\frac{(x_1{y}_1,x_2{y}_2,x_3{y}_3)}{(x_1{y}_1+x_2{y}_2+x_3{y}_3)}$ och multiplikationen $\lambda (x_1,x_2,x_3) =\hspace{0.17em}\frac{({\left(x_1\right)}^{\lambda },{\left(x_2\right)}^{\lambda },{\left(x_3\right)}^{\lambda })}{{\left(x_1\right)}^{\lambda }+{\left(x_2\right)}^{\lambda }+{\left(x_3\right)}^{\lambda }}$ ett vektorrum, det är projektiva kvoten av ${\left(R^{+}\right)}^3$ med $x_1+x_2+x_3 =\hspace{0.17em}k$ där man väljer k = 1 som representant och beskriver sannolikhetssimplexet för en variabel med tre möjliga utfall. Det går förstås att generalisera till ett simplex i högre dimension (fler möjliga utfall) och även kontinuerliga variabler men man får lite teknikaliteter med konvergens osv.

Ett motiverande exempel annars för vektorrum är ju mängden av lösningar till en homogen differentialekvation, som generalisering av $R^n$ som vektorrummet av lösningar till en ekvation med n variabler. Eller för den delen differensekvationer, t ex mängden av lösningar till Fibonacci-följden med godtyckliga startvärden (istället för 1, 1).

Underrum till funktionsrum som mängden av udda (eller jämna) funktioner är också vektorrum (och delar upp funktionsrummet i en direkt summa).

Eller kanske bara mer abstrakt tolkning av elementen i vektorrummen som alla deriveringsoperatorer på någon mångfald (yta)? Om man har ett vektorfält på en mångfald (yta/delrum) så kan man se det som riktningsderivator i vektorns riktning och de går att addera eller multiplicera med en skalär, alltså är det ett vektorrum.

Eller så tar man vektorrummet av avbildningar på ett vektorrum, eller vektorrummet av avbildningar på avbildningar på ett vektorrum osv, godtyckligt många nivåer upp.

Pepparkvarn: hehe vad kul, hur kom du på det?

Parveln: nice.

oggih skrev:

Tal kan vara vektorer! Några exempel (i ökande grad av funkighet):

• De reella talen $\mathbb{R}$ är ett vektorrum över sig självt, under vanlig addition och multiplikation.

Så är det ja! Faktum är att jag inte förbjöd R som svar för att jag av nån konstig anledning inte tänkte att det var det. 

• De komplexa talen $\mathbb{C}$ är ett vektorrum över de reella talen $\mathbb{R}$, under vanlig addition och multiplikation. (Dock är detta i princip bara $\mathbb{R}^2$ i förklädnad, så det kanske inte räknas? ;) )

Vad menar du med att C är ett vektorrum "över" nåt annat vektorrum?

• De reella talen $\mathbb{R}$ är ett vektorrum över de rationella talen $\mathbb{Q}$, under vanlig addition och multiplikation. (Men jag tror ingen människa skulle kunna beskriva en bas för det här vektorrumet!)

Ingen människa kan beskriva en bas för Q? Ja... varför är det svårt? 

• De positiva reella talen $\mathbb{R}^+$ är ett vektorrum över $\mathbb{R}$, under additionsoperationen $x\oplus y=x\cdot y$ (vanlig multiplikation av reella tal, där talet $1$ spelar rollen som vektorrummets nolla) och skalningsoperationen $\lambda{.}x=x^\lambda$ (vanlig expoentiering). [Övning: Vad har det här vektorrummet för dimension? Ge exempel på en bas.]

Vadå??

Du måste ha klart för dig att ett vektorrum kräver två mängder:

1. En mängd vektorer
2. En mängd skalärer* till skalärmultiplikationen

som man sedan definerar addition och skalärmultiplikation på så sätt att de uppfyller vissa axiom.

När man säger att $\mathbb{C}$ är ett vektorrum över $\mathbb{R}$ menar man att de komplexa talen $\mathbb{C}$ är vektorerna och de reella talen $\mathbb{R}$ är skalärerna.

oggih ger dig även ett ganska lurigt exempel av vektorrummet $\mathbb{R}$ över $\mathbb{Q}$. Detta rum har nämligen oändligt många dimensioner. Tänk dig själv, om du har $\pi$ kan du ju inte få $e$ genom att multiplicera med något rationellt tal. Alltså är $\pi$ och $e$ linjärt oberoende, och på samma sätt finns det oändligt många andra irrationella tal som är linjärt oberoende av varandra. Det är till och med så att det finns så många linjärt oberoende irrationella tal i detta vektorrum att en bas blir överuppräknelig! En bas innehåller alltså så många vektorer att du inte ens kan skapa ett system för att lista dem.

* man brukar säga att skalärerna skall vara en kropp, vilket är en mängd tillsammans med väldefinerad addition och multiplikation.

För att ytterligare utveckla det som AlvinB säger, så kan ett vektorrum sägas bestå av fyra bitar data:

• En mängd $V$ av vektorer.
• En kropp $\color{blue}\mathbb{F}$ av skalärer*.
• En additionsoperation ${\color{red}+}:V\times V\to V$ (som talar om vad summan av två vektorer är).
• En skalningsoperation ${\color{green}.}:{\color{blue}\mathbb{F}}\times V\to V$ (som beskriver hur man skalar en vektor med en skalär).

Om de här fyra bitarna data $(V,{\color{blue}\mathbb{F}},{\color{red}+},{\color{green}.})$ tillsammans uppfyller vissa axiom (se länk i ett av mina inlägg ovan) så säger vi att de bildar ett vektorrum. Detta kan i så fall lite mer ledigt uttryckas som att $V$ är ett vektorrum över $\color{blue}\mathbb{F}$ under additionsoperationen $\color{red}+$ och skalningsoperationen $\color{green}.$.

* En kropp består i sin tur av tre bitar data: en mängd tillsammans med en additionsoperation och en multiplikationsoperation, som uppfyller vissa axiom (se länk i tidigare inlägg).

Här lyckas du verkligen med "surprise me"biten haha. Jag visste inte att kroppen F inte var tvunget att vara R. Jag hade det lite i (miss)tankarna nån gång faktiskt men ville inte spåna om det.

I många tillämpningar är $\mathbb{R}$ det självklara valet av kropp, och $\mathbb{R}$ är dessutom är den kropp som gör det lättast att visualisera den linjära algebran (åtminstone i låga dimensioner). Så det är naturligt att man börjar lära sig linjär algebra över just $\mathbb{R}$. Det visar sig dessutom (tack och lov) att mycket av teorin för linjär algebra över $\mathbb{R}$ även gäller för generella kroppar. Till exempel så går det lika bra att gausseliminera över $\mathbb{R}$ som för vilken annan kropp som helst!

Men därmed inte sagt att andra kroppar inte är viktiga! Inom talteori och diskret matematik jobbar man ofta med vektorrum över ändliga kroppar, såsom exempelvis $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ (heltalen mod $p$, där $p$ är ett primtal). Två av mina favoritexempel på områden där detta dyker upp är felrättande koder och färgbarhetsinvarianter för knutar. 

Det finns även tillämpningar (t.ex. kvantmekanik) där man ofta jobbar över de komplexa talen $\mathbb{C}$. Detta är även en intressant kropp att jobba över ur ett rent matematiskt perspektiv, eftersom $\mathbb{C}$ enligt algebrans fundamentalsats är vad man kallar för en algebraiskt sluten kropp (varje polynom av grad $n$ med koefficienter i $\mathbb{C}$ kan skrivas som en produkt av $n$ stycken förstagradare). Detta har massor av spännande konsekvenser. Bland annat har alla kvadratiska matriser egenvärden när man jobbar över $\mathbb{C}$, och ännu bättre: alla kvadratiska matriser kan (efter ett lämpligt basbyte) skrivas på den så kallade Jordans normalform, vilket är ett väldigt kraftfullt resultat, som i någon mening gör att linjär algebra över $\mathbb{C}$ (och andra algebraiskt slutna kroppar) faktiskt är mindre komplicerad än den mer visualiserbara linjära algebran över $\mathbb{R}$.

Angående egenvärden så gäller det även för linjära transformationer i, R^n om n är udda, att de har minst ett egenvärde. Speciellt gäller detta för R^3 som brukar vara ett intressant rum för fysiker.

Det enklaste vektorrummet har vi faktiskt missat, nämligen det som bara består av nollvektorn, $\{\mathbf{0}\}$. En övning är att ta fram dimensionen och en bas.

Ett annat enkelt vektorrum är att helt enkelt ta en kropp $\mathbb{F}$ och låta både skalärer och vektorer utgöras av den. En kropp har ju per definition väldefinierad addition och multiplikation och därmed uppfyller vektorrummet av $\mathbb{F}$ över sig självt axiomen för ett vektorrum per automatik. oggih tar ett exempel på detta av $\mathbb{R}$ över sig självt, men faktum är att samma sak fungerar för alla kroppar.

https://youtu.be/mU7DHh6KNzI

Till den som hittar denna tråd senare.

Tack för alla svar förresten!

AlvinB skrev:

Det enklaste vektorrummet har vi faktiskt missat, nämligen det som bara består av nollvektorn, $\{\mathbf{0}\}$. En övning är att ta fram dimensionen och en bas.

Ett annat enkelt vektorrum är att helt enkelt ta en kropp $\mathbb{F}$ och låta både skalärer och vektorer utgöras av den. En kropp har ju per definition väldefinierad addition och multiplikation och därmed uppfyller vektorrummet av $\mathbb{F}$ över sig självt axiomen för ett vektorrum per automatik. oggih tar ett exempel på detta av $\mathbb{R}$ över sig självt, men faktum är att samma sak fungerar för alla kroppar.

Hm. Kan det vara så att $\varnothing$ kan anses vara en bas för {0}? Är dimensionen 0 då?

PATENTERAMERA skrev:

AlvinB skrev:

Det enklaste vektorrummet har vi faktiskt missat, nämligen det som bara består av nollvektorn, $\{\mathbf{0}\}$. En övning är att ta fram dimensionen och en bas.

Ett annat enkelt vektorrum är att helt enkelt ta en kropp $\mathbb{F}$ och låta både skalärer och vektorer utgöras av den. En kropp har ju per definition väldefinierad addition och multiplikation och därmed uppfyller vektorrummet av $\mathbb{F}$ över sig självt axiomen för ett vektorrum per automatik. oggih tar ett exempel på detta av $\mathbb{R}$ över sig självt, men faktum är att samma sak fungerar för alla kroppar.

Hm. Kan det vara så att $\varnothing$ kan anses vara en bas för {0}? Är dimensionen 0 då?

Just precis!

AlvinB skrev:

oggih ger dig även ett ganska lurigt exempel av vektorrummet $\mathbb{R}$ över $\mathbb{Q}$. Detta rum har nämligen oändligt många dimensioner. Tänk dig själv, om du har $\pi$ kan du ju inte få $e$ genom att multiplicera med något rationellt tal. Alltså är $\pi$ och $e$ linjärt oberoende, och på samma sätt finns det oändligt många andra irrationella tal som är linjärt oberoende av varandra. Det är till och med så att det finns så många linjärt oberoende irrationella tal i detta vektorrum att en bas blir överuppräknelig! En bas innehåller alltså så många vektorer att du inte ens kan skapa ett system för att lista dem.

Jag håller på att läsa den här tråden igen. Det här förstår jag nu, trevligt

Att R va ett vektorrum "över sig själv" var fascinerande, och det förstår jag nu också

oggih skrev:

De positiva reella talen $\mathbb{R}^+$ är ett vektorrum över $\mathbb{R}$, under additionsoperationen $x\oplus y=x\cdot y$ (vanlig multiplikation av reella tal, där talet $1$ spelar rollen som vektorrummets nolla) och skalningsoperationen $\lambda{.}x=x^\lambda$ (vanlig expoentiering). [Övning: Vad har det här vektorrummet för dimension? Ge exempel på en bas.]

Den additiva inversen ska vara noll, men noll$\notin {\mathrm{ℝ}}^{+}$

Basen är vilket tal som helst som inte är 1? Dimensionen är ett.

Qetsiyah skrev:

oggih skrev:

De positiva reella talen $\mathbb{R}^+$ är ett vektorrum över $\mathbb{R}$, under additionsoperationen $x\oplus y=x\cdot y$ (vanlig multiplikation av reella tal, där talet $1$ spelar rollen som vektorrummets nolla) och skalningsoperationen $\lambda{.}x=x^\lambda$ (vanlig expoentiering). [Övning: Vad har det här vektorrummet för dimension? Ge exempel på en bas.]

Den additiva inversen ska vara noll, men noll$\notin {\mathrm{ℝ}}^{+}$

Basen är vilket tal som helst som inte är 1? Dimensionen är ett.

Vad menar du? Oggih definierar ju sin additionsoperation som vanliga multiplikation, $x\oplus y=x·y$. Alltså är exempelvis $3\oplus 5=3·5=15$. Då är ju $1\oplus x=1·x=x$. Så 1 är den additiva inversen för det här vektorrummet utrustat med denna additionsoperation.

Qetsiyah skrev:

oggih skrev:

De positiva reella talen $\mathbb{R}^+$ är ett vektorrum över $\mathbb{R}$, under additionsoperationen $x\oplus y=x\cdot y$ (vanlig multiplikation av reella tal, där talet $1$ spelar rollen som vektorrummets nolla) och skalningsoperationen $\lambda{.}x=x^\lambda$ (vanlig expoentiering). [Övning: Vad har det här vektorrummet för dimension? Ge exempel på en bas.]

Den additiva inversen ska vara noll, men noll$\notin {\mathrm{ℝ}}^{+}$

Identiteten för vår additionsoperation $\oplus$  (dvs. analogen till nollvektorn) i vårt vektorrum $(\mathbb{R}^+,{\color{blue}\mathbb{R}},{\color{red}\oplus},{\color{green}.})$ är talet $1$, eftersom

   $x\oplus 1=x^1=x$ för alla vektorer $x\in\mathbb{R}^+$.

Den additiva inversen (dvs. analogen till minus) för en vektor $x\in\mathbb{R}^+$ ges av $1/x$, eftersom

   $x\oplus \frac{1}{x}=1$.

Så det är inget problem att $0\not\in\mathbb{R}^+$.

Basen är vilket tal som helst som inte är 1? Dimensionen är ett.

Helt korrekt! :D

Exempelvis är $\mathcal{B}=\{10\}$ en bas. Varje vektor $x\in\mathbb{R}^+$ kan uttryckas på ett ett unikt sätt som en multipel av $10$ med avseende på vår skalningsoperation, nämligen som $\lg(x){.}10$, där

   $\lg{(x)}{.}10=10^{\lg(x)}=x$.

oggih skrev:

Det här vektorrummet har även en del intressanta underrum. Till exempel kan man titta på mägden av talföljder som konvergerar till 0:

$c_0=\{(a_n)_{n=1}^\infty:\text{$a_n\to 0$ as $n\to\infty$}\}\,.$

Lite frågor att fundera på:

• Kan du ge exempel på några talföljder som ligger i $c_0$, samt några exempel på talföljder som inte ligger i $c_0$?
• Är $c_0$ verkligen slutet under addition och skalning?
• Varför är $c_1=\{(a_n)_{n=1}^\infty:\text{$a_n\to 1$ as $n\to\infty$}\}$ inte ett vektorrum över $\mathbb{R}$ under komponentvis addition och skalning?

• $\left\{{{\left(a_n\right)}^{\infty }}_{n=1}, a_n=8\forall n\right\}$ (tråkigt exempel va?) $\left\{{{(a}^{}}_{}\right\}$_n)∞n=1, an=1n
• Addition ja skalning ja. Epsilon deltabevis, men jag kan inte det. 0+0=0 och a0=0.
• För att den nya talföljden igår mot två? Skalning med a kommer ge talföljd som går mot a. Alltså att $1+1\ne 1$och att$1a\ne 0 \forall a\in \mathrm{ℝ}$, två egenskaper som noll har?

Noll och oändligheten är de enda talen en talföljd får gå mot för att vara vektorrum?

AlvinB skrev:

oggih tar ett exempel på detta av $\mathbb{R}$ över sig självt, men faktum är att samma sak fungerar för alla kroppar.

Mängden M är vektorrum över sig själv$\stackrel{?}{\iff }$M är en kropp

Varför är inte {0} bas för nollrummet?

Qetsiyah skrev:

oggih skrev:

Det här vektorrummet har även en del intressanta underrum. Till exempel kan man titta på mägden av talföljder som konvergerar till 0:

$c_0=\{(a_n)_{n=1}^\infty:\text{$a_n\to 0$ as $n\to\infty$}\}\,.$

Lite frågor att fundera på:

• Kan du ge exempel på några talföljder som ligger i $c_0$, samt några exempel på talföljder som inte ligger i $c_0$?
• Är $c_0$ verkligen slutet under addition och skalning?
• Varför är $c_1=\{(a_n)_{n=1}^\infty:\text{$a_n\to 1$ as $n\to\infty$}\}$ inte ett vektorrum över $\mathbb{R}$ under komponentvis addition och skalning?

• $\left\{{{\left(a_n\right)}^{\infty }}_{n=1}, a_n=8\forall n\right\}$ (tråkigt exempel va?) $\left\{{{(a}^{}}_{}\right\}$_n)∞n=1,an=1n
• Addition ja skalning ja. Epsilon deltabevis, men jag kan inte det. 0+0=0 och a0=0.
• För att den nya talföljden igår mot två? Skalning med a kommer ge talföljd som går mot a. Alltså att $1+1\ne 1$och att$1a\ne 0 \forall a\in \mathrm{ℝ}$, två egenskaper som noll har?

Helt rätt!

• Talföljden $(\frac{1}{n})_{n=1}^\infty$ ligger i $c_0$, medan $(8)_{n=1}^\infty$ inte ligger i $c_0$.
• Det stämmer att $c_0$ är slutet under både addition och skalning.
  Om $\lim_{n\to\infty} x_n=0$ och $\lim_{n\to\infty} y_n=0$ så gäller det det att $\lim_{n\to\infty} (x_n+y_n)=0$ och $\lim_{n\to\infty}\lambda x_n=0$.
  Detta är relativt enkelt att visa med $\varepsilon$-definitionen av gränsvärde (som jag verkligen tycker att du borde lära dig rätt snart, om du är sugen på mer analys efter flerdim och vektoranalysen! :) ).
• Om $\lim_{n\to\infty} x_n=\lim_{n\to\infty} y_n=1$ så gäller att $\lim_{n\to\infty} (x_n+y_n)=2$ och $\lim_{n\to\infty}\lambda x_n=\lambda$, så $c_1$ är varken slutet under addition eller skalning. Dessutom finns det inget identitetselement för additionen (och därmed makear det inte ens sense att prata om additiva inverser).

Noll och oändligheten är de enda talen en talföljd får gå mot för att vara vektorrum?

Intressant fråga. Om vi för varje $k\in\mathbb{R}$ bildar mängden

   $c_k=\{{(x_n)}_{n=1}^\infty:\lim_{n\to\infty} x_n=k\}$

så stämmer det att $c_k$ failar att varja ett vektorrum (under elementvis addition och skalning över $\mathbb{R}$) för alla $k\neq 0$, av samma skäl att att det inte fungerade för $k=1$.

Men hur ligger det till med mängden

   $c_\infty=\{{(x_n)}_{n=1}^\infty:\lim_{n\to\infty} x_n=\infty\}$

då? Nej, det är inte heller ett vektorrum under elementvis addition och skalning över $\mathbb{R}$. Varför? Jämför med axiomen för ett vektorrum på Wikipedia, och återkom med en lista på klagomål om du vill ha feedback! ^_ ^

Mängden M är vektorrum över sig själv $\iff$ M är en kropp?

Japp! När man säger att $V$ är ett vektorrum över $\mathbb{F}$, så menar man att skalärerna i skalningsoperationen är elementen i $\mathbb{F}$, och enligt definitionen av ett vektorrum så måste mängden skalärer vara en kropp. Så meningen "$M$ är ett vektorrum över sig självt" makear mycket riktigt bara sense om $M$ är en kropp.

Varför är inte {0} bas för nollrummet?

Lite lurigt, men mängden $\{\mathbf{0}\}$ är inte linjärt oberoende! Vi kan ju ta vilken skalär $\lambda\neq 0$ som helst (t.ex. $\lambda=1$) och bilda en icke-trivial linjärkombination som blir $\mathbf{0}$, nämligen $\lambda\mathbf{0}=\mathbf{0}$. 

Introducerade du mig till l2(R) i smyg där? Haha. Men inget om att kvadrera elementen?

Vi har redan nämnt $\ell^2$ tidigare i den här tråden!