Surjektiv

hej

jag behöver hjälp med att bestämma om följande grupphomomorfi är surjektiv eller inte:

Låt $w : = (145) (23)$ i symmetriska gruppen $S_{5}$ och $\emptyset : ℤ_{6} \to S_{5}$ vara en grupphomomorfi som uppfyller $\emptyset (5 + 6 Z) = w$

Bestäm om $\emptyset$ är injektiv och/eller surjektiv

Jag tror att den är injektiv eftersom jag får att kärnan bara innehåller det neutrala elementet, men hur vet man om den är surjektiv eller inte?

Eftersom det är ett ändligt antal element i grupperna så måste det åtminstone gälla att ordningen på $\mathbb{Z}_6$ ska vara större eller lika med ordningen av $S_5$ för att den ska kunna vara surjektiv. Stämmer det att ordningen är större eller lika med?

okej, och $S_{5} = 5!$ och därmed betydligt större än $Z_{6}$ så är kärnan inte surjektiv?

Ja homomorfismen kan inte vara surjektiv. För att den ska kunna vara det så måste du ju för alla element x i $S_5$ kunna mappa något element i $\mathbb{Z}_6$ till x. Men eftersom det är färre element i $\mathbb{Z}_6$ än i $S_5$ så är det ju helt enkelt omöjligt att göra det.

Svara

Visa senaste svar