Surjektiv
hej
jag behöver hjälp med att bestämma om följande grupphomomorfi är surjektiv eller inte:
Låt w:=(145)(23) i symmetriska gruppen S5 och ∅:ℤ6→S5 vara en grupphomomorfi som uppfyller ∅(5+6Z)=w
Bestäm om ∅ är injektiv och/eller surjektiv
Jag tror att den är injektiv eftersom jag får att kärnan bara innehåller det neutrala elementet, men hur vet man om den är surjektiv eller inte?
Eftersom det är ett ändligt antal element i grupperna så måste det åtminstone gälla att ordningen på ℤ6 ska vara större eller lika med ordningen av S5 för att den ska kunna vara surjektiv. Stämmer det att ordningen är större eller lika med?
okej, och S5=5! och därmed betydligt större än Z6 så är kärnan inte surjektiv?
Ja homomorfismen kan inte vara surjektiv. För att den ska kunna vara det så måste du ju för alla element x i S5 kunna mappa något element i ℤ6 till x. Men eftersom det är färre element i ℤ6 än i S5 så är det ju helt enkelt omöjligt att göra det.
