Supremumnorm resonemang

Hej! Gäller 6.6:

med facit

Jag hänger med i a, b och c, men förstår ej hur $||0 - x e^{- n x}|| = \frac{1}{n e}$

Hur resonerar man sig fram till detta? Om x sätts till 1, hur hoppar n ner från e?

Tack!

$\underset{x \in [0, 1]}{s u p} |0 - f_{n} (x)| = \underset{x \in [0, 1]}{m a x} |f_{n} (x)|$ .

Eftersom f_n är kontinuerlig och intervallet [0, 1] är kompakt så antar f_n max på intervallet. Och därför är sup = max på intervallet. Max kan du räkna ut på vanlig sätt mha av derivata.

$f'_{n} (x) = e^{- n x} (1 - n x)$ . f’_n(x) = 0 ger x = 1/n.

f_n(1/n) = (ne)^-1. Vilket är max eftersom värdet i ändpunkterna är mindre.

PATENTERAMERA skrev:
$\underset{x \in [0, 1]}{s u p} |0 - f_{n} (x)| = \underset{x \in [0, 1]}{m a x} |f_{n} (x)|$ .

Eftersom f_n är kontinuerlig och intervallet [0, 1] är kompakt så antar f_n max på intervallet. Och därför är sup = max på intervallet. Max kan du räkna ut på vanlig sätt mha av derivata.

$f'_{n} (x) = e^{- n x} (1 - n x)$ . f’_n(x) = 0 ger x = 1/n.

f_n(1/n) = (ne)^-1. Vilket är max eftersom värdet i ändpunkterna är mindre.

Tusen tack! Jättebra förklarat!!

Svara