Supre- och infimum: Den tomma mängden

Hej!

Låt $M$ vara följande objekt:

   $M =\{x\in \mathbf{R}: p(x) \text{ ar sant}\}$

där $p(x)$ är ett påstående om $x$. Objektet $M$ är en mängd enligt ett logiskt axiom (Specifikationsaxiomet tror jag att det heter). Låt påståendet vara detta: "x är inte ett reellt tal."  Då är M lika med den tomma mängden (som alltså ÄR en mängd enligt Specifikationsaxiomet).

Vad gäller supremum, notera att varje reellt tal är en övre begränsning till den tomma mängden. Eftersom supremum är den minsta av alla dessa övre begränsningar så är supremum "lika med" $-\infty$; notera att symbolen $-\infty$ inte betecknar ett reellt tal. 

Vad gäller infimum, notera att varje reellt tal är en nedre begränsning till den tomma mängden. Eftersom infimum är den största av alla dessa nedre begränsningar så är infimum "lika med" $\infty$; symbolen $\infty$ betecknar inte ett reellt tal.

Notera att en logisk implikation $A\to B$ är falsk om A är sann och B är falsk; här är $A: x\in \emptyset$ och $B: x\leq m$ (där $m$ är en övre begränsning till $\emptyset$). Påståendet A är falskt och B kan vara sann eller falskt (det spelar ingen roll); implikationen $A\to B$ är ändå sann. 

Jag har följdfråger:

1. Vad menas med en övre begränsning? Jag har svårt att se hur en mängd i ickexisterande magnitud kan ha en begränsning? 

2. Hur skiljer sig siffran ”noll” från den tomma delmängden? (I avseenden du anser relevanta för detta ämnesområde)

3. Jag anser att sen tomma delmängden vid både supremum och infimum borde vara 0, varför håller du inte med?

om x avser ett reellt tal och om $x^2<0 ,$ så kan inte 0 ersätta $\varnothing$ eftersom $0^2\ge 0$.

Den tomma mängden används även inom vissa bevis till exempel om man vill bevisa att en funktion  saknar lösning

låt oss säga att $A$ är ett set med lösningar för en funktion $f\left(x\right)$ och $A=\left\{\varnothing \right\}$, då  saknar funktion lösningar för mängden $A$. till exempel om $A=R$ och $f\left(x\right)=x^2+1=0$, så följer det att $\varnothing \in A$ och att funktion saknar lösning

Om du vill fortsätta med logik så rekommenderar jag att du läser "How to prove it" av Daniel Velleman

Om jag kommer ihåg rätt så täcker de fyra första kapitlen set och bevis former, 

Plopp99 skrev:

Jag har följdfråger:

1. Vad menas med en övre begränsning? Jag har svårt att se hur en mängd i ickexisterande magnitud kan ha en begränsning? 

2. Hur skiljer sig siffran ”noll” från den tomma delmängden? (I avseenden du anser relevanta för detta ämnesområde)

3. Jag anser att sen tomma delmängden vid både supremum och infimum borde vara 0, varför håller du inte med?

 Jag förstår inte vad du menar.

1. Vad är en "mängd i ickeexisterande magnitud"?

2. Vad menar du med att en siffra ska "skilja sig" från en mängd?

3. Vad är "tomma delmängden vid supremum"? 

Du skriver att infimum är den största minoranten till en mängd, men vet inte vad övre begränsning till en talmängd är. 

1.)  Hmm.. Enligt specifikationsaxiomet är den tomma mängden en mängd. Den mängden, som jag förstår det, är frånvaron av element som bygger upp mängder. ”2,3,4” har ett konceptuellt värde tilldelat, den tomma mängden verkar inte ha något? När jag ritar en andragradsfunktion är det lätt att finna dess begränsningar i form av max och min värden. Men även lätt att förstå att de i motsatt riktning inte har någon begränsning alls. Gällande den tomma mängden så ser jag inte varför den har en begränsning.

2. Anledningen till att jag frågar har med att jag inte anser att ”definitionen” som du angav gav mig den förståelsen för axiomet som jag önskar. Jag ser inte varför inf(tomma mängen)=oändligheten? ”Eftersom supremum är den minsta av alla dessa övre begränsningar” Den minsta av alla dess övre begränsningar? Jag förstår kanske inte den meningen. Eftersom infimum är den största av alla dessa nedre begränsningar, inf(3,4,5)=3, men vad menar du med ”den största”? Den nedre begränsningen är 3? Menar du, exempelvis, att om vi skulle ha en funktion, med flera min, så skulle den största nedre begränsningen vara infimum? Jag är med på det. Jag tänkte från en början, av ingen logisk anledning som jag kan komma på, att det bara finns en nedre begränsning. Men har vi i sådana fall tre i exemplet ovan? Varav den största nedre begräsningsningen är 3?

3. Med mängden vid supremum menar jag, sup(tomma mängden)= negativa oändligheten. Hur borde det skrivas ut med bokstäver? Kanske supremum för tomma mängden är lika med negativa oändligheten?

Jag skulle påstå att jag ”vet” det i 2/3 generella fall. När talmängden är ändling, oändling på denna formen, sup(1,2,3...)=inf men inte inf(tomma mängden)=positiva oändligheten. Jag ser inte varför varje reellt tal är en nedre begränsning till den tomma mängden? (När det gäller infimum) 

- Till Albiki.

Ryszard skrev:

om x avser ett reellt tal och om $x^2<0 ,$ så kan inte 0 ersätta $\varnothing$ eftersom $0^2\ge 0$.

Den tomma mängden används även inom vissa bevis till exempel om man vill bevisa att en funktion  saknar lösning

låt oss säga att $A$ är ett set med lösningar för en funktion $f\left(x\right)$ och $A=\left\{\varnothing \right\}$, då  saknar funktion lösningar för mängden $A$. till exempel om $A=R$ och $f\left(x\right)=x^2+1=0$, så följer det att $\varnothing \in A$ och att funktion saknar lösning

Om du vill fortsätta med logik så rekommenderar jag att du läser "How to prove it" av Daniel Velleman

Om jag kommer ihåg rätt så täcker de fyra första kapitlen set och bevis former, 

 Tack, jag ska lägga den i min To Read List. Jag förbereder mig för första årets kurser vid Chalmers i höst och såg att detta var en del av någon av de kurserna. 

Plopp99 skrev:

1.)  Hmm.. Enligt specifikationsaxiomet är den tomma mängden en mängd. Den mängden, som jag förstår det, är frånvaron av element som bygger upp mängder. ”2,3,4” har ett konceptuellt värde tilldelat, den tomma mängden verkar inte ha något? När jag ritar en andragradsfunktion är det lätt att finna dess begränsningar i form av max och min värden. Men även lätt att förstå att de i motsatt riktning inte har någon begränsning alls. Gällande den tomma mängden så ser jag inte varför den har en begränsning.

2. Anledningen till att jag frågar har med att jag inte anser att ”definitionen” som du angav gav mig den förståelsen för axiomet som jag önskar. Jag ser inte varför inf(tomma mängen)=oändligheten? ”Eftersom supremum är den minsta av alla dessa övre begränsningar” Den minsta av alla dess övre begränsningar? Jag förstår kanske inte den meningen. Eftersom infimum är den största av alla dessa nedre begränsningar, inf(3,4,5)=3, men vad menar du med ”den största”? Den nedre begränsningen är 3? Menar du, exempelvis, att om vi skulle ha en funktion, med flera min, så skulle den största nedre begränsningen vara infimum? Jag är med på det. Jag tänkte från en början, av ingen logisk anledning som jag kan komma på, att det bara finns en nedre begränsning. Men har vi i sådana fall tre i exemplet ovan? Varav den största nedre begräsningsningen är 3?

3. Med mängden vid supremum menar jag, sup(tomma mängden)= negativa oändligheten. Hur borde det skrivas ut med bokstäver? Kanske supremum för tomma mängden är lika med negativa oändligheten?

Jag skulle påstå att jag ”vet” det i 2/3 generella fall. När talmängden är ändling, oändling på denna formen, sup(1,2,3...)=inf men inte inf(tomma mängden)=positiva oändligheten. Jag ser inte varför varje reellt tal är en nedre begränsning till den tomma mängden? (När det gäller infimum) 

- Till Albiki.

 Studera mängden $M=\{1,2,3\}.$ Talet $3.5$ är en övre begränsning till $M$, liksom talet $3.23$.  Det finns flera tal som är övre begränsningar till mängden $M$; det minsta av alla dessa övre begränsningar benämns supremum för mängden M och i detta fall är supremum lika med talet $3$. 

    $\displaystyle \sup\{1,2,3\}=3.$

På samma sätt är infimum för mängden $M$ lika med talet $1.$

    $\displaystyle \inf\{1,2,3\}=1.$

Det finns inget tal 23 i din angivna mängd? 

Jag har inga problem med att få fram infimum och supremum från talföljer, ändliga eller oändliga, såsom du visar. Mitt problem ligger i att förstå inf(tomma mängden)=Oändligheten

Jag tror du inte förstår $\mathbf{\infty }$ symbolen. Läs kommentaren "$\mathbf{\infty }$ betecknar inte ett reellt tal" i Albikis första inlägg tills det sjunkerin. Det finns många konstiga tal i matematiken utöver reella tal. Det finns även en rolig tråd på flashback om 0.999... = 1. Den ger också en inblick i oändlighetssymbolen.

"Supremum för en mängd A, betecknas med sup A och definieras som det minsta reella tal, som är större än eller lika med varje tal i A." Hur hjälper det att skriva MINSTA reella tal? Om ett tal uppfyller andra kriteriert, det vill säga, att de är större eller lika med varje tal i A...Jaha? Kan det vara att om vi har sup(1,2,3)=.. så kanske någon skulle säga 4, vilket är större än eller lika med alla tal i talföljden, men inte det minsta, dvs, 3!

Okej, jag tar en paus från PA och försöker låta det sjunka in.

Tänk såhär, låt oss titta på ett tal, t.ex. 5. Antingen så är 5 en övre begränsning till tomma mängden eller så är det inte det. Om det INTE är en övre begränsning så innebär det att vi skulle ha ett tal x i tomma mängden så att x>5. Detta saknas (då tomma mängden inte har några tal alls) så alltså måste 5 vara en övre begränsning. Samma resonemang fungerar för alla reella tal. Alltså är alla reella tal övre begränsningar.

Mitt problem, som jag förstår det, var att jag antog att övre/undre begränsningen måste vara en delmängd i mängden. Tack för ett mycket bra svar JohanB.

Jag sökte efter andra svar på nätet och fann någon som hade ställt en identisk fråga till min. Svaren som individen i fråga fick var givande för mig och kanske för andra som också ställer sig denna fråga någon gång i framtiden. 

https://math.stackexchange.com/questions/532233/why-is-the-empty-set-bounded