sup, inf, max, min
hur löser jag uppgift 1b? vad ska jag första tänka på?
Är följden konvergent?
Använd en känd uppskattning på sinusfknen
Hur har det gått med b-uppg? Här lite ytterligare steg. Sätt t=1/k. Då är k=1/t och k går mot oändl. om t går mot 0. Uttrycket ksin(1/k)=(sin t)/t som har ett välkänt gränsvärde när t går mot0.
Hur går det med denna?
Visa först att följden är konvergent mha Tomtens tips. Vad blir gränsvärdet?
Visa sedan, om det inte är känt, att en (reellvärd) konvergent följd är begränsad, dvs följdens värdemängd är en begränsad delmängd till R. Följden har därför inf och sup i R.
Visa sedan att följden är växande.
Visa att om en växande följd är uppåt begränsad så är den konvergent och dess gränsvärde är lika med följdens supremum.
Det sista stycket gäller inte Alla växande följder inom det begränsade intervallet. Den kan ju t ex konvergera mot en inre punkt i intervallet. Dock är det känt att om sup/inf existerar så FINNS. en följd som konvergerar mot detta sup/inf och för den flöden gäller sista stycket.
Tomten skrev:Det sista stycket gäller inte Alla växande följder inom det begränsade intervallet. Den kan ju t ex konvergera mot en inre punkt i intervallet. Dock är det känt att om sup/inf existerar så FINNS. en följd som konvergerar mot detta sup/inf och för den flöden gäller sista stycket.
Förstår inte riktigt vad du menar. Se tex denna tråd.
Kanske dumt påpekat av mig. Detta är inget märkvärdigt. Här ett enkelt exempel. Låt M var intervallet 0<x<10. Då är sup M =10. Betrakta följden xn = 1-1/n. Den är växande, xn tillhör M för alla n och konvergerar följaktligen, men inte mot sup M utan mot 1.
OK. Men notera att i vårt resonemang så var det frågan om följdens supremum, dvs supremum till följdens värdemängd, dvs sup{xn: n =1, 2, ...}.
