Summor

monkeymanXD94 skrev :

Så jag följer ett exempel på hur vi kan ändra den övre gränsen på summor men jag följer inte helt med.

$2^{k+1} -\underset{i=0}{\overset{k}{\sum 2^i}} = 2^{k+1} -\underset{i = 0}{\overset{k-1}{\sum 2^i}} - 2^k$

jag förstår inte hur dom kunde få ut $-2^k$ från summan

Det är den sista termen i summan, dvs 2^k som de plockar ut utanför summatecknet. Efter det går ju summan bara upp till k-1.

Pröva själv att det stämmer med k = 2 till exempel.

Pröva sedan med k = 3 osv.

Då ser du kanske att det stämmer för alla k.

De kan ta ut den, eftersom $2^k$ är en del av summan. När det står $\sum _{i=0}^k{2}^i$ innebär det $2^0+2^1+2^2+...+2^{k-2}+2^{k-1}+2^k$. Om vi lägger till $2^{k+1}$ till den talföljden, kan vi (för enkelhetens skull) ändra i summatecknet, så att vi behöver skriva mindre. Då blir det $\sum _{i=0}^{k+1}{2}^i$ istället, eftersom vi lagt till det sista elementet, $2^{k+1}$, till följden. Då "tickar" summeringen ett steg till.

På samma sätt kan vi också ta ut element från följder. Om vi subtraherar $2^k$ från den första talföljden, kommer räkneverket endast att "ticka" upp till $2^0+2^1+2^2+...+2^{k-2}+2^{k-1}$, vilket är samma sak som $\sum _{i=0}^{k-1}{2}^i$. För att det fortfarande ska vara en likhet måste vi ju dock lägga till vår $2^k$ efter summatecknet. Totalt blir det $\left(\sum _{i=0}^{k-1}{2}^i\right)+2^k$.