Summan av vinkelspetsar

Titta i mitten. Ser du pentagonen? 

juddan11 skrev:

Nr.13

vet att vinkelsumman i en triangel är 180 grader, men vet inte hur jag ska tänka för att komma vidare?

Du söker a+b+c+d+e.

Kalla vinklarna i femhörningen för A, B, C, D och E (blåmarkerade).

Du känner till femhörningens vinkelsumma, dvs A+B+C+D+E.

Bilda nu flera trianglar där varje triangel består av två vinkelspetsar a-f och ett femhörningshörn A-F.

Alla dessa trianglar har vinkelsumman 180°

Formulera nu alla samband så kan du göra en enkel substitution som eliminerar vinklarna A-F.

Det finns ett annat samband men kan använda.

Om vi tar Yngves bild och definierar två vinklar A' och B' som är komplementvinklar till A och B respektive.

Då har vi en triangel med vinklarna a, A' och B' och vi vet ju vinkelsumman för denna.

A' är yttervinkel i triangeln ABD och B' är yttervinkel till triangeln CEB. Yttervinkelsatsen ger då uttryck för A' och B'

Därur kan man enkelt beräkna vinkelsumman a+b+c+d+e.

 AndersWs lösning är riktigt snygg! 

("Komplementvinklar" ska dock vara supplementvinklar.)

Förstår i princip vad ni menar, men det blir mycket att hålla koll på. Var ska jag börja?

Injicerar en fullösning (Hör inte ihop med ovan diskussion): Om problemet ska vara lösbart så måste summan av de där vinklarna vara lika för alla pentagram oavsett hur de ser ut. Om så är fallet kan vi deformera pentagrammet till en form där summan är visuellt uppenbar.

Flytta två av hörnen så att de överlappar med två andra hörn. Voila, en triangel, och 3 av motsvarande vinklar är nu interna vinklar i triangeln medan de andra två vinklarna är 0 så summan av de tre vinklarna blir 180 grader. 

juddan11 skrev:

Förstår i princip vad ni menar, men det blir mycket att hålla koll på. Var ska jag börja?

 Mitt förslag var att teckna uttryck för vinkelsummorna i femhörningen samt i 5 trianglar:

Femhörningen ABCDE:

A+B+C+D+E = 540°

Triangel adC (rödmarkerad):

a+d+C = 180°

Triangel ecB:

e+c+B = 180°

Triangel dbA:

d+b+A = 180°

Triangel caE:

c+a+E = 180°

Triangel beD:

b+e+D = 180°

Summera nu alla samband för trianglarnas vinkelsummor:

(a+d+C) + (e+c+B) + (d+b+A) + (c+a+E) + (b+e+D) = 5*180°

Sortera om vänsterledet:

2a + 2b + 2c + 2d + 2e + (A+B+C+D+E) = 900°

Vi kan ersätta A+B+C+D+E med 540° enligt vårtt första samband:

2*(a + b + c + d + e) = 900° - 540°

a + b + c + d + e = 180°

-----

Förslagen från AndersW och SeriousCephalopod var elegantare.

Idé 2. Man kan även anpassa yttervinkelbeviset för vinkelsumman hos en polygon till stjärnpolygoner vilket även har fördelen att det generaliserar till stjärnpolygoner oavsett hur många hörn de har. För oss som inte minns yttervinkelbeviset för polygoners vinkelsumma (för polygoner som inte skär sig själva) så utgår det från att man förlänger polygonens sidor ut i rummet längsmed en orienteringsriktning.

Yttervinklarna man då får har då uppenbarligen summan 360 grader (ett helt varv). Om man inte tycker detta är uppenbart eller kan verbalisera varför så kan man även zooma ut tills dess att polygonen effektivt är en punkt för att "se" att deras summa är 360.

Vidare är varje yttervinkel är $y_i = 180 - v_i$där $v_i$ är en intern vinkel så om vi har n hörn och summan av yteervinklarna är

$\sum_{i = 1}^n y_i = 360$

så kan vi substituera för de interna vinklarna och lösa ut deras summa

$180n - \sum_{i = 1}^n v_i = 360$

$\sum_{i = 1}^n v_i = 180(n - 2)$

Nu till stjärnorna. För en stjärna har vi något liknande men en observant person ser nu kanske att summan av yttervinklarna inte är 360 utan istället är 720 (två varv) eftersom  man går två varv runt centrum om man vandrar längsmed polygonens sidor snarare än ett varv som i fallet med en simpel polygon. Jag kan tyvärr inte troliggöra detta med en utzoomning. 

Därmed har vi att summan av yttevinklarna är

$\sum_{i = 1}^5 y_i = 720$

$180 \cdot 5 - \sum_{i = 1}^5 v_i = 720$

$\sum_{i = 1}^5 v_i =180 \cdot 5 - 720 = 180(5 - 4) = 180$