22 svar

693 visningar

Nichrome behöver inte mer hjälp

summan av roten ur två irrationella tal

Låt n,m beteckna positiva heltal. Bevisa att om $\sqrt{n m}$ är irrationellt så är $\sqrt{n} + \sqrt{m}$ irrationellt. Formulera omvändningen och avgör om den gäller.

$\sqrt{n m} \in ℚ ´$

Det betyder att ett kvadrattal $n m \neq k^{2}$

om produkten är ett tal som inte är ett kvadrattal då är minst ett av talen ett tal som inte är en kvadrat. T.ex 17 = 2² + 13

och roten ur ett tal som inte är ett kvadrat är irrationellt. Då spelar det ingen roll om en eller inga av talen n och m är kvadrater. Summan blir alltid irrationellt. (Jag vet dock inte hur jag ska bevisa detta matematiskt)

Omvändningen: Om $\sqrt{n} + \sqrt{m}$ är irrationellt då är $\sqrt{n m}$ irrationellt. Om vändningen gäller inte för att t.ex $\sqrt{2} + \sqrt{8}$ är irrationellt men $\sqrt{16} = 4$ .

Räcker det att bevisa omvändningen med ett exempel?

Jag tror du blandar ihop räknereglerna lite. Rot2 + rot8 = rot2 + rot(2*4) = rot2 + 2*rot2 = 3*rot2. Även i första dyker det upp ett + där du borde ha ett * istället.

Nu hänger jag inte riktigt med.

Inte jag heller verkar det som 🙈 Det här med att läsa hela frågan.. Men vill du visa att något är falskt, som i andra delen, så räcker det bra med ett motexempel.

Jag förstår inte exemplet med 17, du vill ha m*n, inte +? Annars har du en bra poäng.

Ett irrationellt tal + ett annat irrationellt tal kan bli rationellt, men inte just här. Men jag tror inte det är meningen att man ska bevisa det ordentligt på gymnasiet.

Testa att kvadrera sqrt(n)+sqrt(m).

Hej,

Omvändningen är denna:

Om $\sqrt{n} + \sqrt{m}$ är ett rationellt tal så är $\sqrt{n \cdot m}$ ett rationellt tal.

Låt $\sqrt{n}+\sqrt{m} = \frac{p}{q}$ där $p$ och $q$ är relativt prima positiva heltal. Då är

$\frac{p^2}{q^2} = n+m+2\sqrt{n \cdot m}$

vilket visar att $\sqrt{n \cdot m}$ är ett rationellt tal eftersom både $n$ och $m$ är positiva heltal.

Albiki skrev:
Hej,
Omvändningen är denna:
Om $\sqrt{n} + \sqrt{m}$ är ett rationellt tal så är $\sqrt{n \cdot m}$ ett rationellt tal.
Låt $\sqrt{n}+\sqrt{m} = \frac{p}{q}$ där $p$ och $q$ är relativt prima positiva heltal. Då är
$\frac{p^2}{q^2} = n+m+2\sqrt{n \cdot m}$
vilket visar att $\sqrt{n \cdot m}$ är ett rationellt tal eftersom både $n$ och $m$ är positiva heltal.

Nu har du väl "dubbel-omvänt" frågan? Det här borde vara ekvivalent med det som skulle bevisas först.

Micimacko skrev:
Albiki skrev:
Hej,
Omvändningen är denna:
Om $\sqrt{n} + \sqrt{m}$ är ett rationellt tal så är $\sqrt{n \cdot m}$ ett rationellt tal.
Låt $\sqrt{n}+\sqrt{m} = \frac{p}{q}$ där $p$ och $q$ är relativt prima positiva heltal. Då är
$\frac{p^2}{q^2} = n+m+2\sqrt{n \cdot m}$
vilket visar att $\sqrt{n \cdot m}$ är ett rationellt tal eftersom både $n$ och $m$ är positiva heltal.
Nu har du väl "dubbel-omvänt" frågan? Det här borde vara ekvivalent med det som skulle bevisas först.

Ja du har rätt. Jag har utfört ett indirekt bevis av det ursprungliga påståendet.

Den korrekta omvändningen är denna.

Om $\sqrt{n}+\sqrt{m}$ är ett irrationellt tal så är $\sqrt{n \cdot m}$ ett irrationellt tal.

Den kontrapositiva formuleringen av påståendet är därför detta:

Om $\sqrt{n \cdot m}$ är ett rationellt tal så är $\sqrt{n}+\sqrt{m}$ ett rationellt tal.

Den kontrapositiva formuleringen är emellertid falsk eftersom $\sqrt{2 \cdot 2}$ är ett rationellt tal men $\sqrt{2} + \sqrt{2}$ är ett irrationellt tal.

Men är detta ett bevis? Jag måste bevisa implikationen OCH omvändningen.

Du kan inte bevisa omvändningen eftersom den inte var sann, så det är du klar med.

Albikis bevis är bra, men poängen är väl att du ska göra ett eget? Testa tex parvelns ide.

Micimacko skrev:
Du kan inte bevisa omvändningen eftersom den inte var sann, så det är du klar med.
Albikis bevis är bra, men poängen är väl att du ska göra ett eget? Testa tex parvelns ide.

${(^{} \sqrt{n} + \sqrt{m})}^{2} = n + m + 2 \sqrt{n m}$ ??

Jag förstår inte riktigt hur jag kan bevisa det genom att kvadrera

Du vet att n och m är rationella. Och du vet att i det här fallet är rot(mn) inte rationellt.

Ett rationellt + ett irrationellt tal = irrationellt

Rationellt tal i kvadrat är rationellt.

Så rot(m) + rot(n) i kvadrat måste vara irrationellt, och då måste de vara det utan kvadrat också.

Micimacko skrev:
Du vet att n och m är rationella. Och du vet att i det här fallet är rot(mn) inte rationellt.
Ett rationellt + ett irrationellt tal = irrationellt
Rationellt tal i kvadrat är rationellt.
Så rot(m) + rot(n) i kvadrat måste vara irrationellt, och då måste de vara det utan kvadrat också.

jag förstår inte varför det blir så komplicerat.

$\sqrt{n m}$ är irrationellt men det betyder inte att båda talen är irrationella, det enda kan vara 16 och det andra $π$ . Om man kvadraerar summan då kan man faktiskt få $\sqrt{16} = 4$ och $\sqrt{π}$

dvs 4 + $\sqrt{π}$

och det är irrationellt.

jag förstår inte riktigt hur jag ska koppla det faktum att $\sqrt{n m}$ är irrationellt till att $(\sqrt{n} + {\sqrt{m)}}^{2}$ ska vara irrationellt.

m och n är heltal, så de är rationella.

Du skriver lite rörigt, vilken av punkterna jag skrev är det du inte håller med om?

Micimacko skrev:
m och n är heltal, så de är rationella.
Du skriver lite rörigt, vilken av punkterna jag skrev är det du inte håller med om?

jag vet att $\sqrt{n m}$ det här är irrationellt och jag håller med om att ett rationellt + ett irrationellt tal = irrationellt men jag blir förvirrad när det blandas ihop med kvadraten av den här summan.

Testar sätta siffror på det. Var fastnar du?

1. Vi vet att rot(nm) är irrationellt. (från frågan)

2. Om vi kvadrerar rot(m) + rot(n) får vi

m + n +2rot(nm)

3. Rationellt + rationellt + irrationellt = irrationellt

4. Om vi kvadrerar ett rationellt tal får vi ett annat rationellt tal.( (p/q)^2 = p^2/q^2, och heltal*heltal=heltal)

5. Eftersom kvadraten är irrationell (från nr 3) var talet irrationellt. (från nr 4)

Micimacko skrev:
Testar sätta siffror på det. Var fastnar du?
1. Vi vet att rot(nm) är irrationellt. (från frågan)
2. Om vi kvadrerar rot(m) + rot(n) får vi
m + n +2rot(nm)
3. Rationellt + rationellt + irrationellt = irrationellt

Det var inget, jag fixade det nu. Tack!

Micimacko skrev:
Testar sätta siffror på det. Var fastnar du?
1. Vi vet att rot(nm) är irrationellt. (från frågan)
2. Om vi kvadrerar rot(m) + rot(n) får vi
m + n +2rot(nm)
3. Rationellt + rationellt + irrationellt = irrationellt
4. Om vi kvadrerar ett rationellt tal får vi ett annat rationellt tal.( (p/q)^2 = p^2/q^2, och heltal*heltal=heltal)
5. Eftersom kvadraten är irrationell (från nr 3) var talet irrationellt. (från nr 4)

Hej igen
Min lärare sa att jag ska bevisa rationellt + rationellt + irrationellt = irrationellt men jag vet inte hur?

Antag att du hade rationellt+rationellt+irrationellt=rationellt. Då skulle du ha irrationellt=rationellt-rationellt-rationellt. Men vad händer om du adderar/subtraherar rationella tal?

parveln skrev:
Antag att du hade rationellt+rationellt+irrationellt=rationellt. Då skulle du ha irrationellt=rationellt-rationellt-rationellt. Men vad händer om du adderar/subtraherar rationella tal?

rationellt+rationellt+irrationellt blir irrationellt? 2+3+0.5 = 5.5 och summan/differensen av rationella tal är ett rationellt tal. Men jag måste bevisa det algebraiskt.

Raderade ett tramsinlägg /moderator

Om du kollar på högerledet i mitt inlägg så kan du skriva ut det algebraiskt. Du kan alltid skriva ett rationellt tal som a/b, där a och b är heltal, så högerledet kan skrivas som a/b-c/d-e/f. Är detta ett rationellt eller irrationellt tal?

Svara

Visa senaste svar