Summan av en udda och en jämn funktion

Jag skulle skriva så här

f(x) + g(x) = (x-1)/(x+1)

f(-x) = f(x)

g(-x) = -g(x)

men jag ser inte direkt vad jag ska göra sen. Eller jo förresten, det finns en enkel sak man kan göra med den första ekvationen.

Låt

$\displaystyle h(x)=f(x)+g(x)=\frac{x-1}{x+1}$

Låt $f$ vara jämn och $g$ udda. Vad blir då $h(-x)$?

Addera de två ekvationerna för att lösa ut $f(x)$

Just precis. Nu kan inte frågaren komma på det själv längre.

Om du låter bli att skriva "men jag ser inte direkt vad jag ska göra sen." som tips så kanske jag har lättare att förstå att ni/du faktiskt förstår vad ni ska göra sen.

Tack för svar bägge två!

Jag ska läsa och grunna på detta en stund nu. Det är inte direkt läge för att utropa Heureka än på en stund känner jag 😀

Laguna skrev:

Jag skulle skriva så här

f(x) + g(x) = (x-1)/(x+1)

f(-x) = f(x)

g(-x) = -g(x)

men jag ser inte direkt vad jag ska göra sen. Eller jo förresten, det finns en enkel sak man kan göra med den första ekvationen.

Jag skriver ner några saker så ni ser hur lite jag förstår just nu.
(x-1) är en udda funktion och (x+1) är en udda funktion. Udda/Udda = Jämn, alltså är summan av f(x) + g(x) en jämn funktion.
f(-x) = f(x) är definitionen för en jämn funktion.
g(-x) = -g(x) är definitionen för en udda funktion.

Sedan ser jag inte sambandet med "en enkel sak" och D4niels förslag vilket känns lite pinsamt att erkänna.

Så om ni orkar försök förklara lite av detaljerna. Som sagt jag vet inte var jag ska leta efter information.

Hej!

(Nu använder jag temporärt $f$ och $g$ för andra funktioner än dom avsedda i uppgiften).

Låt $f\left(x\right)=x-1$. Då är $f\left(-x\right)=\left(-x\right)-1=-x-1$, men $-f\left(x\right)=-\left(x-1\right)=1-x$. Så $f\left(-x\right)\neq -f\left(x\right)$, alltså är inte $f$ en udda funktion som du skrivit. På samma sätt gäller tyvärr inte heller att $g\left(x\right)=x+1$ är en udda funktion. Du har ju att $g\left(-x\right)=1-x\neq -1-x=-g\left(x\right)$.

Jag tror idén som diskuterades ovan är att om $h\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)$, med $f$ jämn och $g$ udda, så är $h\left(-x\right)=f\left(-x\right)+g\left(-x\right)$. Men detta kan förenklas eftersom vi vet att $f$ är jämn och $g$ udda, eller hur? Kan du förenkla detta själv?

Samtidigt så vet vi också att eftersom $h\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)$ så måste också $h\left(x\right)=\frac{x-1}{x+1}$. Vad är ett uttryck för $h\left(-x\right)$ här?

Beräkna sen summan $h\left(x\right)+h\left(-x\right)$. Vad kommer du fram till?

Antag att f(x) är en godtycklig funktion

Sätt f(x)=g(x)+h(x)

Där g(x) är jämn och h(x) är udda.

Sätt g(x) = af(x) + bf(-x)

Sätt h(x) = cf(x) + df(-x)

Tack för ditt svar Moffen. Jag tror att det är svaret på min undran.

Tack för ditt svar henrikus. Det får bli en djupare studie när jag förstått lösningen först.

Mitt problem är att jag underskattade grovt vad jag behövde förstå om udda och jämna funktioner. Det här är ett lite återkommande problem för mig här i starten av denna kurs i envariabelanalys.
Det känns som att jag saknar en bok emellan matte4 och denna kurs. Lite lösblad från kursledarna finns som förklarar en hel del om grafer, men det är alldeles för lite information för mig. Borde det inte finnas bättre kurslitteratur som fördjupar sig i grafer och komplexa tal?

PATENTERAMERA skrev:

Visa spoiler

h(x) = (x-1)/(x+1)

h(x) = j(x) + u(x)  (1)

h(-x) = j(x) - u(x)  (2)

(1) + (2) => h(x) + h(-x) = 2j(x) => j(x) = (h(x) + h(-x))/2

(1) - (2) => h(x) - h(-x) = 2u(x) => u(x) = (h(x) - h(-x))/2

Ett litet problem här är att h(x) har en singularitet då x = -1. Dvs h(x) är inte definierad för x = -1. Det betyder att åtminstone en av funktionerna j(x) och u(x) måste vare odefinierad då x = -1. Men om tex j(x) är odefinierad för x = -1 så måste den också vara odefinierad för x = 1. Om man använder ovan nämnda recept för att definera j(x) och u(x) så ser man att båda funktionerna har singulariteter då  x= -1 och då x = 1. Så de har inte samma definitionsmängd som h(x). Dock gäller det att $\underset{x\to 1}{\lim }\left(j\left(x\right)+u\left(x\right)\right)$= h(1).

Tack för svar! Även detta får jag titta lite djupare på när jag förstått den tidigare föreslagna lösningen.

Jag önskar gärna förslag på böcker som avhandlar detta. Det borde finnas i någon bok under Algebra om jag förstått rätt?

ConnyN skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Visa spoiler

h(x) = (x-1)/(x+1)

h(x) = j(x) + u(x)  (1)

h(-x) = j(x) - u(x)  (2)

(1) + (2) => h(x) + h(-x) = 2j(x) => j(x) = (h(x) + h(-x))/2

(1) - (2) => h(x) - h(-x) = 2u(x) => u(x) = (h(x) - h(-x))/2

Ett litet problem här är att h(x) har en singularitet då x = -1. Dvs h(x) är inte definierad för x = -1. Det betyder att åtminstone en av funktionerna j(x) och u(x) måste vare odefinierad då x = -1. Men om tex j(x) är odefinierad för x = -1 så måste den också vara odefinierad för x = 1. Om man använder ovan nämnda recept för att definera j(x) och u(x) så ser man att båda funktionerna har singulariteter då  x= -1 och då x = 1. Så de har inte samma definitionsmängd som h(x). Dock gäller det att $\underset{x\to 1}{\lim }\left(j\left(x\right)+u\left(x\right)\right)$= h(1).

Tack för svar! Även detta får jag titta lite djupare på när jag förstått den tidigare föreslagna lösningen.

Jag önskar gärna förslag på böcker som avhandlar detta. Det borde finnas i någon bok under Algebra om jag förstått rätt?

Se t.ex. här: https://www.shsu.edu/~kws006/Precalculus/1.4_Function_Symmetries_files/1.4%20FunctionSymmetries%20slides%204to1.pdf

tomast80 skrev:

ConnyN skrev:

Visa föregående citat

PATENTERAMERA skrev:

Visa spoiler

h(x) = (x-1)/(x+1)

h(x) = j(x) + u(x)  (1)

h(-x) = j(x) - u(x)  (2)

(1) + (2) => h(x) + h(-x) = 2j(x) => j(x) = (h(x) + h(-x))/2

(1) - (2) => h(x) - h(-x) = 2u(x) => u(x) = (h(x) - h(-x))/2

Ett litet problem här är att h(x) har en singularitet då x = -1. Dvs h(x) är inte definierad för x = -1. Det betyder att åtminstone en av funktionerna j(x) och u(x) måste vare odefinierad då x = -1. Men om tex j(x) är odefinierad för x = -1 så måste den också vara odefinierad för x = 1. Om man använder ovan nämnda recept för att definera j(x) och u(x) så ser man att båda funktionerna har singulariteter då  x= -1 och då x = 1. Så de har inte samma definitionsmängd som h(x). Dock gäller det att $\underset{x\to 1}{\lim }\left(j\left(x\right)+u\left(x\right)\right)$= h(1).

Tack för svar! Även detta får jag titta lite djupare på när jag förstått den tidigare föreslagna lösningen.

Jag önskar gärna förslag på böcker som avhandlar detta. Det borde finnas i någon bok under Algebra om jag förstått rätt?

Se t.ex. här: https://www.shsu.edu/~kws006/Precalculus/1.4_Function_Symmetries_files/1.4%20FunctionSymmetries%20slides%204to1.pdf

Det var en fin sammanfattning, men att plötsligt förstå hur summan av att en udda och en jämn funktion kan bli som vår funktion (x-1)/(x+1) och att vi ska förstå exakt vilken udda och jämn funktion det är verkar som ett väldigt stort steg?
Jag har sett en del videor om summan av en udda och jämn funktion, men kan inte riktigt se sambandet i vårt fall. Några exempel på lösningar med summan av udda och jämna funktioner har jag inte hittat. I läroböckerna hittar jag bara exempel där de multipliceras eller divideras.
På något vis verkar det som att jag har lösningen mitt framför ögonen utan att se det när jag läser svaren jag fått?

ConnyN skrev:

Det var en fin sammanfattning, men att plötsligt förstå hur summan av att en udda och en jämn funktion kan bli som vår funktion (x-1)/(x+1) och att vi ska förstå exakt vilken udda och jämn funktion det är verkar som ett väldigt stort steg?

Det finns inget "enkelt" sätt att se hur funktionerna ser ut eller vilka de är. Tvärtom innehåller den här uppgiften en hel del räknande. Det vi får veta av uppgiftstexten är att vi har en funktion

$h(x)=\frac{x-1}{x+1}\quad\quad(1)$

Och vi får dessutom veta att funktionen kan delas upp som summan av  två funktioner, en jämn och en udda.

$h(x)=f(x)+g(x)\quad\quad(2)$

Eftersom jämna och udda funktioner har speciella egenskaper när vi byter tecken på argumentet är det rimligt att vi börjar med att studera $h(-x)$ för att se om vi kan få ut något matnyttigt.

Kan du teckna ekvation $(1)$ och ekvation $(2)$ fast för $h(-x)$ istället för $h(x)$?

D4NIEL skrev:

ConnyN skrev:

Det var en fin sammanfattning, men att plötsligt förstå hur summan av att en udda och en jämn funktion kan bli som vår funktion (x-1)/(x+1) och att vi ska förstå exakt vilken udda och jämn funktion det är verkar som ett väldigt stort steg?

Det finns inget "enkelt" sätt att se hur funktionerna ser ut eller vilka de är. Tvärtom innehåller den här uppgiften en hel del räknande. Det vi får veta av uppgiftstexten är att vi har en funktion

$h(x)=\frac{x-1}{x+1}\quad\quad(1)$

Och vi får dessutom veta att funktionen kan delas upp som summan av  två funktioner, en jämn och en udda.

$h(x)=f(x)+g(x)\quad\quad(2)$

Eftersom jämna och udda funktioner har speciella egenskaper när vi byter tecken på argumentet är det rimligt att vi börjar med att studera $h(-x)$ för att se om vi kan få ut något matnyttigt.

Kan du teckna ekvation $(1)$ och ekvation $(2)$ fast för $h(-x)$ istället för $h(x)$?

Nu har jag hunnit lära mig lite mer. Det stod en hel del matnyttigt i min lärobok Adams "Calculus" med hyfsat bra exempel, men jag går fortfarande bet på denna uppgift.

Nå jag provar att svara dig först:
Ekvation 1  $h(-x)=\frac{-x-1}{-x+1}=\frac{-(x+1)}{-(x-1)}=\frac{x+1}{x-1}$

Ekvation 2  $h(-x)=f(-x)+g(-x)=f\left(x\right)+g(-x)$

Exentuellt kan vi byta ut g(-x) till -g(x) och får då  $h(-x)=f\left(x\right)-g\left(x\right)$

Ja, det ser helt rätt ut. Nu är nästa steg att bilda $h(x)+h(-x)$ på två sätt.

Först använder vi det ekvation $(2)$ gav oss

$h(x)+h(-x)=f(x)+g(x)+(f(x)-g(x))=?$

Sedan noterar vi att också kan använda det ekvation $(1)$ gav oss

$h(x)+h(-x)=\frac{x-1}{x+1}+\frac{x+1}{x-1}$

Sätter vi ihop detta får vi alltså $f(x)=?$

Edit: rättade ett minustecken

Heureka! Nu tror jag att jag kommit fram tack vare dina tips!

$h\left(x\right)+h(-x)=\left(f\right(x)+g(x\left)\right)+\left(f\right(x)-g(x\left)\right)=2f\left(x\right)$

Som du skriver $h\left(x\right)+h(-x)=\frac{x-1}{x+1}+\frac{x+1}{x-1}$/ och då kan vi skriva

$2f\left(x\right)=\frac{x-1}{x+1}+\frac{x+1}{x-1}$/ dividerar med 2

$f\left(x\right)=\frac{x-1}{2(x+1)}+\frac{x+1}{2(x-1)}$/ gör liknämnigt

$f\left(x\right)= \frac{{(x-1)}^2}{2(x^2-1)}+\frac{{(x+1)}^2}{2(x^2-1)}=\frac{x^2-2x+1+x^2+2x+1}{2(x^2-1)}=$

$\frac{2x^2+2}{2(x^2-1)}=\frac{x^2+1}{x^2-1}$

Nu kan vi ta reda på g(x)

$h\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)$/ vi löser ut g(x)

$g\left(x\right)=\frac{x-1}{x+1}-\frac{x^2+1}{x^2-1}=\frac{{(x-1)}^2}{x^2-1}-\frac{x^2+1}{x^2-1}$/nu kan vi sätta in  f(x) och g(x) i h(x)=f(x)+g(x)

$h\left(x\right)=\frac{x^2+1}{x^2-1}+\frac{{(x-1)}^2}{x^2-1}-\frac{x^2+1}{x^2-1}=\frac{(x-1)(x-1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{x-1}{x+1}$/så långt ser det bra ut, kan vi också visa att g(x) är udda?

Jag behöver tänka till på den märker jag. Återkommer, men kommentera gärna om jag verkar tänka fel någonstans.

Det ser korrekt och bra ut.

Möjligtvis kan du snygga till $g(x)$ på samma sätt som du gjorde med $f(x)$ genom att expandera parentesen förenkla så allt står på samma bråkstreck.

Och visst kan du kontrollera att $f(x)=f(-x)$ (jämn funktion) samt att $g(-x)=-g(x)$ udda funktion, antingen genom att bara checka något enskilt värde, kanske x=2 och x=-2 eller formellt genom att sätta in (-x) i $f(x)$ resp $g(x)$.

Jo det gick bra f(x) var ju redan given. Tricket att 1=x⁰ lärde jag mig idag och då har vi bara jämna ekvationer i f(x)

g(x) tog lite tid via g(-x), men oj jag är för trött nu att visa. Det får bli om någon dag.

Just nu är jag bara så glad för den hjälp jag fått av er och särskilt D4niel som orkade dra mig ända fram. Uppgiften var från början en redovisningsuppgift (2006) där man skulle ange vart man fått hjälp ifrån om man nu behövde det och det behövde då verkligen jag. Om inte annat än för min egen skull så återkommer jag med lösningen av att g(x) är udda.

Ja nu är jag lite piggare, så nu kommer det sista här.

$f(-x)=\frac{{(-x)}^2+1}{{(-x)}^2-1}=\frac{x^2+1}{x^2-1}=f\left(x\right)$så det stämmer med definitionen av en jämn ekvation.

$g\left(x\right)=\frac{{(x-1)}^2}{x^2-1}-\frac{x^2+1}{x^2-1}=\frac{-2x}{x^2-1}$och

$g(-x)=-\frac{2(-x)}{{(-x)}^2-1}=-\frac{-2x}{x^2-1}$och det stämmer med definitionen för udda funktioner $g(-x)=-g\left(x\right)$

Så tack igen till alla som bidragit. Jag kanske återkommer med lite mer när jag gjort färdigt redovisningen. Eftersom jag studerar på egen hand så är det endast er jag kan testa på om det ser vettigt ut. Det finns också ett svar på uppgiften, men den tittar jag först på efteråt för att efterlikna andras studier så mycket som möjligt.

PATENTERAMERA skrev:

Visa spoiler

h(x) = (x-1)/(x+1)

h(x) = j(x) + u(x)  (1)

h(-x) = j(x) - u(x)  (2)

(1) + (2) => h(x) + h(-x) = 2j(x) => j(x) = (h(x) + h(-x))/2

(1) - (2) => h(x) - h(-x) = 2u(x) => u(x) = (h(x) - h(-x))/2

Ett litet problem här är att h(x) har en singularitet då x = -1. Dvs h(x) är inte definierad för x = -1. Det betyder att åtminstone en av funktionerna j(x) och u(x) måste vare odefinierad då x = -1. Men om tex j(x) är odefinierad för x = -1 så måste den också vara odefinierad för x = 1. Om man använder ovan nämnda recept för att definera j(x) och u(x) så ser man att båda funktionerna har singulariteter då  x= -1 och då x = 1. Så de har inte samma definitionsmängd som h(x). Dock gäller det att $\underset{x\to 1}{\lim }\left(j\left(x\right)+u\left(x\right)\right)$= h(1).

Nu har jag läst och förstått. Intressant med din lösning är att du får med divisionen med 2 så snyggt. Min lösning ser lite grovhuggen ut i jämförelse, men jag har en bit kvar att gå. Jag har sett lite liknande på några YouTube-videos, men de har varit så teoretiska så jag har inte förstått. Nu ser jag sambandet mellan dessa och din lösning samt den jag fått fram med hjälp. Att h(x) inte är definierad för x = -1 är också intressant och att f(x) och g(x) (dina j(x) och u(x)) inte är definierade för x = -1 och x = +1.
Professionellt får man säga om ditt upplägg.

Jag har gjort en redovisning nu. Tyvärr fanns ingen beskrivning av en tänkt lösning som jag trodde, men skulle någon orka traggla sig igenom det för att kunna påpeka brister så är jag mycket tacksam.