Summan av en talföljd

Det är nog enklast att använda induktion.

Så vad gör jag efter detta? 

Nej, du skall anta att OM antagandet gäller för n = k så gäller det för n=k+1.

Som jag skrivit i fler av dina trådar, repetera hur man gör ett induktionsbevis innan du försöker dig på de hrä svårare uppgifterna.

Du "vet" att induktionsantagandet är sant. Ställ upp induktionsantagandet och addera 2^(k) på båda sidor. I vänsterled lägg in 2^(k) i summan så den går från 0 till (k + 1) - 1. I högerled har du nu två termer 2^k  förenkla. TADA!

Hej Ciilon,

Du har summan $S_{n-1}=1+2+2^2+2^3+... 2^{n-1}.$ Subtrahera 1 från summan och bryt ut den gemesamma faktorn 2. 

    $2\cdot (1+2+2^2+\ldots+2^{n-2}) = S_{n-1}-1.$

Notera att det du har här kan skrivas som en rekurrensekvation

    $2S_{n-2} = S_{n-1}-1 \iff S_{n-1} - 2S_{n-2} - 1 = 0\ , \quad n\geq 3$

tillsammans med begynnelsevärden $S_1 = 1$ och $S_0 = 0.$

Rekurrensekvationens karakteristiska ekvation är andragradspolynomet

    $r^2-2r-1=0\iff (r-1)^2-2 = 0.$

Dess lösningar är $r= 1+\sqrt{2}$ samt $r=1-\sqrt{2}$ vilket betyder att

    $S_{n} = A(1+\sqrt{2})^{n} + B(1-\sqrt{2})^{n}$

där $S_0 = A+B = 0$ och $S_1 = (A+B) + (A-B)\sqrt{2} = 1 \implies A-B= \frac{1}{\sqrt{2}}.$

Beräkningarna visar att

    $S_n = \frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot ((1+\sqrt{2})^n - (1-\sqrt{2})^n).$