Summa skalfunktioner

Jag förstår bara nästan vad det handlar om, men det stämmer att om indexvariablerna krockar så får man byta ut den ena, det förändrar ju inte värdet.

Ja, om du byter ut ett av dina index till m för att vara tydlig så ser det nästan ut som att du borde kunna utföra exakt samma resonemang som på den tredje bilden du bifogar för att härleda Parseval.

Tack! Har fått till 18 nu. Men varför blir det 0 i 19? Jag skulle gissa att 2:an framför j kanske hör ihop med den framför t, men vet inte hur jag ska använda det. Vad blir egentligen ekvationen i ledtråden?  Ska jag stoppa in hela parentesen i t i 3,3?

Utvidgningen för $\phi(t-j)$ blir $\sum_k c_k \phi(2(t-j) - k) = \sum_k c_k \phi (2t - (k+2j)) = \sum_m c_{m-2j} \phi(2t-m)$ där vi gjort substitutionen $m=k+2j$. Om du nu använder denna utvidgning för att beräkna $\langle \phi(t),\phi(t-j) \rangle$ på liknande sätt som på bild 3 så kanske du kan komma fram till det sökta resultatet. Anledningen till att vi får 0 i ena ledet är väl helt enkelt att $\langle \phi(t),\phi(t-j) \rangle = 0$ (om $j \neq 0$)?

Förstår inte riktigt vad du har gjort. Antar att du sätter m=k+2j? Hur får du sen ett m bakom parentesen? Sen vet jag inte alls vad som hände med summan. Är det något liknande uppg 17?

Precis som du säger så sätter jag $m=k+2j$. Jag utgår från att du förstod hur jag kom fram till att $\phi(t-j) = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} c_k \phi (2t - (k+2j))$ (stoppa bara in $t-j$ i stället för $t$ i 3.3). Vi kan nu skifta det index vi summerar över med $2j$, genom att i stället summera över indexet $m=k+2j$. Då kan vi skriva $\phi(2t - (k+2j)) = \phi(2t-m)$. Eftersom vi då också har $k=m-2j$ så skriver vi $c_{m-2j}$ i stället för $c_k$ i summan. Summan i $k$ går från $-\infty$ till $+\infty$ och då vi bara skiftade detta index med någon konstant så ska summan i $m$ också gå från $-\infty$ till $+\infty$. Då får vi $\phi(t-j) = \sum\limits_{m=-\infty}^{\infty} c_{m-2j} \phi(2t-m)$.

Den biten var jag med på, men du verkar ha ett extra m bakom, kanske var felskrivet bara?

Och likheten efter är jag tyvärr inte alls med på. 

Jag ser inget extra m någonstans. Jag har egentligen inte gjort någonting annat än en slags variabelsubstitution, typ som man gör i integraler, för att skriva om summan så den känns lättare att handskas med. Om du inte sett detta tidigare så finns en introduktion med ett par exempel här: https://blogs.ubc.ca/infiniteseriesmodule/units/unit-1/sigma-notation/changing-summation-limits/

Med det sagt så kan du nog strunta i att göra den substitutionen om det känns för krångligt och bara utgå från $\phi(t-j) = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty} c_k \phi (2t - (k+2j))$ för att beräkna $\langle \phi(t),\phi(t-j) \rangle$.

Då får jag ihop det, tack! 😃