Summa med sin

Hej,

Beteckna $a=e^{it}$ så att summan skrivs

    $S_N=1 + (a+a^2+\cdots+a^{N}) + (a^{-1}+a^{-2}+\cdots+a^{-N})$

som är två geometriska summor, $a\cdot S_{N-1}^{+}$ samt $a^{-1}\cdot S_{N-1}^{-}$, där

    $a^{N}-1=(a-1)S_{N-1}^{+}$ och $a^{-N}-1=(a^{-1}-1)S_{N-1}^{-1}.$

Detta medför att summan kan skrivas

    $\displaystyle S_N = 1+\frac{a}{a-1} \cdot (a^{N}-1) + \frac{a^{-1}}{a^{-1}-1} \cdot (a^{-N}-1)\\=1+\frac{1}{a-1}\cdot (a^{N+1}-a^{-N}-(a-1))=\frac{1}{a-1}\cdot (a^{N+1}-a^{-N}).$

Notera att

    $\displaystyle a^{N+1}-a^{-N} = a^{\frac{1}{2}}\cdot (a^{N+\frac{1}{2}}-a^{-(N+\frac{1}{2})}) = a^{\frac{1}{2}} \cdot 2i\sin (N+\frac{1}{2})t$

och

    $\displaystyle \frac{2i a^{0.5}}{a-1} = \frac{2i}{a^{0.5}-a^{-0.5}} = \frac{1}{\sin 0.5 t}$

vilket ger det önskade resultatet.

    $\displaystyle S_N = \frac{\sin (N+\frac{1}{2})t}{\sin \frac{t}{2}}.$

Tack!