Summa

Om du skriver om första 1:an som $\frac{1}{5^0}$så syns kanske mönstret lättare.

$\frac{1}{5^0}-\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^3}-....$
Minsta gemensamma nämnare är inte 5...

Vad är det för typ av summa? Eller kanske man vill ta + för sig och - för sig? Gruppera termerna fiffigt?

De här är två geometriska talföljder där a₀ är 1 resp. 1/5 och kvoten är 1/25.

När det kommer till oändliga alternerande summor så kan det vara en bra idé att gruppera termerna på ett listigt sätt. Summan i sig är ju

$\sum _{n=0}^{\infty }{\left(-1\right)}^n{\left(\frac{1}{5}\right)}^n=1-\frac{1}{5}+{\left(\frac{1}{5}\right)}^2-{\left(\frac{1}{5}\right)}^3+{\left(\frac{1}{5}\right)}^4+...$

Om vi kallar summan (svaret) för $S$ och om vi separerar de positiva och negativa termerna så får man

$S=1+{\left(\frac{1}{5}\right)}^2+{\left(\frac{1}{5}\right)}^4+{\left(\frac{1}{5}\right)}^6+{\left(\frac{1}{5}\right)}^8...-\left(\frac{1}{5}\right)-{\left(\frac{1}{5}\right)}^3-{\left(\frac{1}{5}\right)}^5-{\left(\frac{1}{5}\right)}^7-...$

Kalla den positiva delsumman för exempelvis $S_p$och den negativa för $S_n$ och se om man kan faktorisera $S_n$på något sätt så att den blir samma sak som $S_p.$ Hittills så har vi alltså $S=S_p+S_n$

Men fattar lite problemet är hur ska jag ta mig till väg jag vet att sista temen kommer vara oändligt 

MathematicsDEF skrev:

När det kommer till oändliga alternerande summor så kan det vara en bra idé att gruppera termerna på ett listigt sätt. Summan i sig är ju

$\sum _{n=0}^{\infty }{\left(-1\right)}^n{\left(\frac{1}{5}\right)}^n=1-\frac{1}{5}+{\left(\frac{1}{5}\right)}^2-{\left(\frac{1}{5}\right)}^3+{\left(\frac{1}{5}\right)}^4+...$

Om vi kallar summan (svaret) för $S$ och om vi separerar de positiva och negativa termerna så får man

$S=1+{\left(\frac{1}{5}\right)}^2+{\left(\frac{1}{5}\right)}^4+{\left(\frac{1}{5}\right)}^6+{\left(\frac{1}{5}\right)}^8...-\left(\frac{1}{5}\right)-{\left(\frac{1}{5}\right)}^3-{\left(\frac{1}{5}\right)}^5-{\left(\frac{1}{5}\right)}^7-...$

Kalla den positiva delsumman för exempelvis $S_p$och den negativa för $S_n$ och se om man kan faktorisera $S_n$på något sätt så att den blir samma sak som $S_p.$ Hittills så har vi alltså $S=S_p+S_n$

varför har du -1 upphöjt till n varför multiplicerr du det med 1/5?

1245 skrev:

MathematicsDEF skrev:

När det kommer till oändliga alternerande summor så kan det vara en bra idé att gruppera termerna på ett listigt sätt. Summan i sig är ju

$\sum _{n=0}^{\infty }{\left(-1\right)}^n{\left(\frac{1}{5}\right)}^n=1-\frac{1}{5}+{\left(\frac{1}{5}\right)}^2-{\left(\frac{1}{5}\right)}^3+{\left(\frac{1}{5}\right)}^4+...$

Om vi kallar summan (svaret) för $S$ och om vi separerar de positiva och negativa termerna så får man

$S=1+{\left(\frac{1}{5}\right)}^2+{\left(\frac{1}{5}\right)}^4+{\left(\frac{1}{5}\right)}^6+{\left(\frac{1}{5}\right)}^8...-\left(\frac{1}{5}\right)-{\left(\frac{1}{5}\right)}^3-{\left(\frac{1}{5}\right)}^5-{\left(\frac{1}{5}\right)}^7-...$

Kalla den positiva delsumman för exempelvis $S_p$och den negativa för $S_n$ och se om man kan faktorisera $S_n$på något sätt så att den blir samma sak som $S_p.$ Hittills så har vi alltså $S=S_p+S_n$

varför har du -1 upphöjt till n varför multiplicerr du det med 1/5?

För att det är så summan ser ut, den byter ju tecken efter varje term och det är just det ${\left(-1\right)}^n$faktorn gör, om du provar stoppa in n=0,1,2,3,4 osv så märker du att att det blir 1 ,-1, 1,-1 ,1 osv som multipliceras in i den oändliga summan. Sedan står det ${\left(\frac{1}{5}\right)}^n$eftersom att det är ju det vi summerar, fast exponenten ökar med 1 varje term, därav $n.$

Ja det stämmer att termerna fortsätter i all oändlighet så det kanske låter lite konstigt att flytta på oändliga termer, men det stoppar oss inte från att faktorisera, multiplicera samt gruppera termerna ändå. Man letar efter mönster och så länge man är konsistent så får man rätt svar ändå.

https://www.matteboken.se/lektioner/matte-1/tal/geometriska-talfoljder