14 svar

108 visningar

Sudden/adiabatisk approx. kvantmek.

Hej!

Jag behöver hjälp med följande uppgift:

En partikel är i grundtillståndet i en oändlig potentialbrunn med bredden a, $<x i> = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin (\frac{π x}{a})$ (1)

Eftersom det är en eigenstate till Hamiltonianen kommer vågfunktionen att utvecklas som

$<x α (t)> = e^{- i E_{1} t / h} \sqrt{\frac{2}{a}} \sin (\frac{πx}{a})$ där $E_{1} = \frac{π^{2} h^{2}}{2 m a^{2}}$

Om brunnen plötsligt utvidgas till dubbla bredden, 2a ges vågfunktionen av

$<x i> = \{\begin{cases} \sqrt{\frac{2}{a}} \sin (\frac{πx}{a}) \\ 0 o m x > a \end{cases} o m 0 \leq x \leq a$

vilket inte är grundtillståndet för nya Hamiltonianen vilken är $\sqrt{\frac{1}{a}} \sin (\frac{πx}{2 a})$ . (2)

Beräkna $<x α (t)>$ för det nya systemet.

Jag tror att jag ska använda en adiabatisk approximation som säger att partikelns position inte kan svara mot förändringen under den snabba tidsförändringen så det slutgiltiga tillståndet är en summa över alla eigenstates för den slutgiltiga Hamiltonianen:

$ψ (x) = \sum_{n} ψ_{n}^{f} (x) <ψ_{n}^{f} ψ_{n}^{i}>$

Men jag vet inte riktigt hur jag ska göra. Jag antar att (1) och (2) är bra och keten i summan, och $ψ_{n}^{f} (x)$ också är (2). Men jag är ändå osäker på om det här är rätt sätt att gå tillväga. Jag vill ju också ha med tisberoendet i mitt svar, kan jag bara lägga på summan?

Du vet vågfunktionen vid t = 0. Uttryck den i den nya hamiltonianens egenfunktioner, som ju bildar en bas. Dessa vet du sedan hur de evolverar i tiden.

Okej tack. Menar du att jag ska göra ett basbyte något i stil med

$<x f> = U <x i>$ där f= final och i = initial och U är transformationsmatrisen som fungerar på följande sätt

$<a^{(k)} U a^{(l)}> = <a^{(k)} b^{(l)}>$

(eller kanske f= $U^{+}$ i )

och därefter evolvera i tiden?

Du har skrivit upp den nya hamiltonianens egenfunktion med lägst energi. Hur ser övriga egenfunktioner ut? Projicera din vågfunktion på dessa. Då har du hur det ser ut vid t = 0 uttryckt i hamiltonianens egenfunktioner. Sedan kan du t.ex använda time-evolution operator på det tillståndet.

Vågfunktionen är direkt efter brunnens utvidgning

$| ψ (0) >$

där vi vet hur den representeras i vanliga x-koordiniater som

$ψ (0) = < x | ψ (0) > = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin (\frac{πx}{a}), 0 < x < a$

Utveckla vågfunktionen i nya hamiltonianens egenfunktioner (som du vet hur de ser ut i x-representationen)

$| ψ (0) > = (\sum_{n} | φ_{n} > < φ_{n} |) | ψ (0) > = \sum_{n} < φ_{n} | ψ (0) > | φ_{n} > = \sum_{n} c_{n} (0) | φ_{n} >$

Kan du hitta uttryck för koefficienterna c_n(0)?

Tack så mycket för all hjälp! Ja jag försökte hitta uttryck för koefficienterna c_n(0) och fick då följande

$- \frac{\sqrt{2}}{a} \sum_{n} (\sin (\frac{x π}{a})) (\sin (\frac{x n π}{2 a}))$

vilket antagligen är helt fel, men jag tänkte att $φ_{n} > = \sum_{n} \sqrt{\frac{1}{a}} \sin (\frac{π x n}{2 a})$ .

Du verkar ha glömt att integrera!

I x-representationen är den inre produkten

$< φ_{n} | ψ (0) > = \int {φ^{*}}_{n} ψ (0) d x$

Du vet att

$ψ (0) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin (\frac{πx}{a})$

för x mellan 0 och a, samt att

$φ_{n} = \sqrt{\frac{2}{2 a}} \sin (\frac{n πx}{2 a})$

för x mellan 0 och 2a.

Vad blir då den inre produkten ovan?

Asså det blir ju en integral med två olika gränser för de två olika funktionerna, så jag antar att det blir en dubbelintegral men är väldigt osäker

$\int_{0}^{a} (\int_{0}^{2 a} \sqrt{\frac{1}{a}} \sin (\frac{π x' n}{2 a}) d x') \sqrt{\frac{2}{a}} \sin (\frac{π x}{a}) d x$

Nej, ingen dubbelintegral.

"Egentligen" ska du integrera över alla x, d.v.s från -oändligheten till oändligheten, men här är ju vågfunktionen bara nollskilld mellan 0 och a (och basfunktionen bara nollskilld mellan 0 och 2a), så då räcker det med att integrera från 0 till a!

Okej tack! Jag räknade ut integralen och fick då

$\frac{\sqrt{2}}{a} \int_{0}^{a} \sin (\frac{π x n}{2 a}) \sin (\frac{π x}{a}) d x = \frac{\sqrt{2}}{a} (\frac{4 a \sin (\frac{π n}{2})}{4 π - π n^{2}}) = \frac{\sqrt{2}}{π} (\frac{4 \sin (\frac{π n}{2})}{4 - n^{2}})$

vilket då borde vara min c_n(0)

Ja, det är nog rätt. Ser du att sinusfaktorn är 0, 1 eller - 1? Alla jämna c_n (utom 2 som du får beräkna separat) blir då 0.

Nu kan vi slänga på tidsförloppet genom att operera med exp(-i*H*t/hbar) på vågfunktionen vid t = 0. Då allt är uttryckt i H:s egenvektorer så blir det rätt smidigt.

Jag förstår :) tusen tack för all hjälp!

Det var bara kul. Visst är det skoj med kvantmekanik?

Helt ärligt tycker jag inte det är speciellt skoj eftersom jag har jättesvårt att förstå den. Det är så ointuitivt och jag har verkligen jättesvårt med notationen. Det krävs så himla mycket för att förstå. Kursen jag går nu är avancerad kvantmekanik, det är verkligen ingen dans på rosor!

Där ser man! Återkom gärna med fler frågor. Själv tycker jag att dirac-notationen är väldigt smidig.

Svara

Visa senaste svar