Substitutionsmetoden

EulerWannabe skrev :

 

Frågor:

1. Betyder "du" derivatan av u?
2. Vad betyder dx? Om du är derivatan av u så vill jag ha det till du = -2dx

du/dx är derivatan av u med avseende på x, alltså u'(x) om du vill skriva på det sättet..

u(x) = 5-2x ger u'(x) = -2

URSÄKTA MIG! Jag råkade formulera fråga 2 fel. (se fetmarkerade)

2. Vad betyder dx? Om du är derivatan av u så vill jag ha det till du = -2

Vad betyder det när det står du = -2dx? Alltså varför lägger man till dx.

Även den första frågan undrar jag över. Betyder "du" derivatan av u?

Du vet att  u(x) = 5-2x. Då är  derivatan $u\text{'}\left(x\right) = \frac{du}{dx} = -2$. Men för att kunna subtituera i integralen behöver vi ett sätt att få rätt integrationsvariabel,  och då leker man lite med beteckningarna och skriver att $\frac{du}{dx} = -2 \iff du = -2dx \iff dx = -\frac{1}{2}du$, så där det har stått "dx" på slutet av integralen byter man ut det till "-½du", och då har man en enklare integral att jobba vidare med (särskilt när man har brutit ut den konstanta faktorn -½ utanför integraltecknet).

Skall man vara strikt matematisk måste man vara krångligare och mer stringent än så här, men det här räcker för att kunna räkna med.

Om man jämför med själva definitionen av derivata känns det kanske naturligare: vi delar en liten skillnad i funktionsvärdet, delta-u eller du, med en liten skillnad i funktionsvariabeln, delta-x eller dx. Kvoten du/dx går mot derivatans värde, när skillnaderna blir "oändligt små".

Just i detta fall är det extra tydligt. u=5-2x.

Om vi ökar x med dx, så kommer u att öka med -2*dx

För ökningarna gäller sambandet du = -2dx