Substitutionsekvation till matris

Betrakta ekvationen

$3x_1^2+2x_1x_2+3x_2^2 = 5 (*)$

Ange variabelsubstitution $(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})$ = $P (\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \end{matrix})$ , där P är en ON-matris, som transformerar den här ekvationen till en ny ekvation (**) i variablerna $y_1, y_2$ utan termen $y_1y_2$

Få fram den nya ekvationen (**) genom insättningen av uttrycken för $x_1$ och $x_2$ ur substitutionen i den givna ekvationen (*).

Jag tänkte att

$P = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix})$

Men facit anger P som detta skalärt med $\frac{1}{\sqrt{2}}$

Är det något fel med mitt svar? Tänker att båda är rätt, men att ena kanske gör slutresultatet enklare att ta fram.

I frågan söks en ON matris, vad karaktäriserar en ON-matris? Är din föreslagna matris en ON-matris?

En kvadratisk matris är en ON-matris om dess kolonnvektorer är ortonormerade.

kolonn 1 längd: $\sqrt{2}$ = kolonn 2 längd

kolonn 1 * kolonn 2 = 1*1 + 1*(-1) = 1 - 1 = 0

Så jag har INTE en ON-matris, eftersom kolonnernas längder inte är 1 trots att skalären av dem är 0.

Alltså bör mitt påstående vara fel. Var det så du tänkte?

Ja. Ett annat sätt att uttrycka det på; det ska gälla att $P^TT=$ Enhetsmatrisen

Tillägg: 9 mar 2023 20:25

Här skulle det egentligen stå $P^TP=E$

Vad är T ?

$P^T$ står för transponatet av matrisen $P$

Om matrisen $P$ är ortogonal är transponatet samma sak som inversen $P^T=P^{-1}$

Man tycker om att ha en transformationsmatris som är ortogonal eftersom det är lätt att ta fram inversen till matrisen $P$ , allt man gör är att transponera den.

Dumt formulerat av mig. Att $P^{T}$ är transponatet av $P$ antog jag. Men vad är andra T:et i din ekvation?

$P^{T} T = E$

Menade du $P^{T} P$ ?

Oj, förlåt!

Det ska såklart stå $P^TP=E$

Ibland kallar man enhetsmatrisen för identitetsmatrisen $I$ istället, dvs $P^TP=I$ för en ortogonal (ortonormal) matris.

Svara

Visa senaste svar