Substitutioner vid flervariabels gränsvärden

Hej, ofta ser jag följande "substitution" vid beräkningar av gränsvärden:

$\lim_{x^{2} + y^{2} \to \infty} . . . = \lim_{r \to \infty} . . .$ , min tanke är att man gör $x^{2} + y^{2} = r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ) = r^{2}$ , men när vänsterledet går mot oändligheten så går r^2 till oändligheten och inte r, är det inte problematiskt att skriva att r går mot oändligheten i och med att r^2 och r växer olika snabbt. Är det då verkligen en substitution som utförs här? Eller är det någon typ av sammansättningsregel?

All hjälp uppskattas som vanligt!

När r^2 går mot oändligheten går r mot oändligheten och vice versa.

Hej HaCurry,

Funktionen $f(u) = \sqrt{u}$ är kontinuerlig och strängt växande överallt på intervallet $0\leq u < \infty.$ Detta medför att $f(r^2) \to \infty$ då $r^2 \to \infty.$

Men $f(r^2) = |r| = r$ eftersom $r>0$ varför $r \to \infty$ då $r^2 \to \infty.$

För det ursprungliga gränsvärdesproblemet är det inte viktigt hur snabbt man närmar sig gränsvärdet, endast att man närmar sig gränsvärdet.

Albiki skrev:
Hej HaCurry,
Funktionen $f(u) = \sqrt{u}$ är kontinuerlig och strängt växande överallt på intervallet $0\leq u < \infty.$ Detta medför att $f(r^2) \to \infty$ då $r^2 \to \infty.$
Men $f(r^2) = |r| = r$ eftersom $r>0$ varför $r \to \infty$ då $r^2 \to \infty.$
För det ursprungliga gränsvärdesproblemet är det inte viktigt hur snabbt man närmar sig gränsvärdet, endast att man närmar sig gränsvärdet.

Hmm okej, det som gör mig lite förvirrad är att du tar fram ett specifikt exempel, hur skulle man kunna göra ditt resonemang mer generellt eller finns det något jag bör läsa som kan mig bättre förståelse? verkar som att jag har någon lucka i min förståelse.

Svara

Visa senaste svar