subsitionen och gränserna

I första uppgiften har man infört de nya variablerna $u=xy$ och $v=y/x$. Man skriver om området D till området E.

I andra uppgiften har man infört de nya variablerna $u=x+y+z$, $v=x+y-z$ och $w=3x+y+3z$. Man skriver om området D till området E.

I båda fallen använder man jacobianen på funktionerna u(x,y) och v(x,y) respektive u(x,y,z), v(x,y,z) och w(x,y,z). Jag förstår inte vad du menar det är som är olika (förutom att den första uppgiften är i 2 dimensioner och den andra i tre)?

Man beräknar jacobianen på variabelbytet, alltså $u=xy$ och $v=\frac{y}{x}$. Sedan tillämpar man variabelbytet på både området och funktionen, d.v.s. att man byter ut $xy$ mot $u$ och $\frac{y}{x}$ mot $v$.

På samma sätt gör de med trippelintegralen, de gör ett variabelbyte, beräknar jacobideterminanten på variabelbytet och sedan tillämpar de variabelbytet på både området och funktionen.

Tänk dig en envariabelintegral. Om man utför en substitution byter man ju i både funktionen och gränserna.

Smaragdalena skrev:

I första uppgiften har man infört de nya variablerna $u=xy$ och $v=y/x$. Man skriver om området D till området E.

I andra uppgiften har man infört de nya variablerna $u=x+y+z$, $v=x+y-z$ och $w=3x+y+3z$. Man skriver om området D till området E.

I båda fallen använder man jacobianen på funktionerna u(x,y) och v(x,y) respektive u(x,y,z), v(x,y,z) och w(x,y,z). Jag förstår inte vad du menar det är som är olika (förutom att den första uppgiften är i 2 dimensioner och den andra i tre)?

 ok.. jag är med, fast ändå inte.

för jag tycker om man tex tar denna: 

där beräknar man inte jacobianen på f(x,y) utan bara på D-s villkor?

då hade vi (väl?) fått : 

subsituerar f(x,y): 
u = x^2+y^2
v = (x^2+y^2)

(ja nu är det samma)

men nu gör dom - i denna uppg - jacobianen på D:
u=x-y
v = x^2+y^2

och det är den här skillnaden jag inte förstår...

AlvinB skrev:

Man beräknar jacobianen på variabelbytet, alltså $u=xy$ och $v=\frac{y}{x}$. Sedan tillämpar man variabelbytet på både området och funktionen, d.v.s. att man byter ut $xy$ mot $u$ och $\frac{y}{x}$ mot $v$.

På samma sätt gör de med trippelintegralen, de gör ett variabelbyte, beräknar jacobideterminanten på variabelbytet och sedan tillämpar de variabelbytet på både området och funktionen.

Tänk dig en envariabelintegral. Om man utför en substitution byter man ju i både funktionen och gränserna.

se inlägg ovan 

Redan mellan den första och andra dubbelintegralen har man gått över från dxdy till dudv, även om man har kvar variablerna x och y i själva integranden. Mellan den tredje och fjärde dubbelintegralen går man över helt till variablerna u och v.

Smaragdalena skrev:

Redan mellan den första och andra dubbelintegralen har man gått över från dxdy till dudv, även om man har kvar variablerna x och y i själva integranden. Mellan den tredje och fjärde dubbelintegralen går man över helt till variablerna u och v.

 jo jo, jag är med på det. men fattar nite riktigt varför man ibland(?) substituerar D och inte funktionen. 

och sen i substituerar funktionen men inte D? för det ger ju olika utfall???? (om jag räknar rätt)

Det är varken området eller funktionen man byter ut, det är VARIABLERNA som man byter ut i samtliga fall. Området och funktionen är desamma, men de ser olika ut eftersom man använder olika variabler för att beskriva dem.

Smaragdalena skrev:

Det är varken området eller funktionen man byter ut, det är VARIABLERNA som man byter ut i samtliga fall. Området och funktionen är desamma, men de ser olika ut eftersom man använder olika variabler för att beskriva dem.

 jo jo..

1.  för om jag ska substituerar variablerna i D på första frågan: så kommer det ju se ut

u = x+y+z
v = finns inget, och vi kan inte göra jacobianen

skulle jag subsituariera variablerna i funktionen så får jag så som man får i facit

-------------

2.  skulle jag substituera variablerna i funktionen i andra uppg så skulle vi få

u = e^(-xy)
v = finns inget..

skulle jag subsituariera variablerna i funktionen så får jag så som man får i facit

-------------------------

alltså förstår du? hur jag menar? jag försöker bara förstå varför man gör olika på olika uppgifters funktioner/områden.

Första exemplet: Från början har du två  variabler x och y. Efter variabelbytet har du två variabler u och v.

Andra exemplet: Från början har du tre variabler x, y och z. Efter variabelbytet har du tre variabler, u, v och w.

Nej, jag förstår verkligen inte vad du menar - jag tror snarare att det är du som inte har förstått vad variabelsubstitution betyder. Det betyder att man byter ut sina obekväma variabler mot något som gör att man kan beskriva sin funktion och sitt område på ett bekvämare sätt. Man behöver byta ut variablerna överallt, både i funktionen och i området.

Smaragdalena skrev:

Första exemplet: Från början har du två  variabler x och y. Efter variabelbytet har du två variabler u och v.

Andra exemplet: Från början har du tre variabler x, y och z. Efter variabelbytet har du tre variabler, u, v och w.

Nej, jag förstår verkligen inte vad du menar - jag tror snarare att det är du som inte har förstått vad variabelsubstitution betyder. Det betyder att man byter ut sina obekväma variabler mot något som gör att man kan beskriva sin funktion och sitt område på ett bekvämare sätt. Man behöver byta ut variablerna överallt, både i funktionen och i området.

 hehe jo jag vet vad det är.. men tex. den här:

D: {(x,y) : $x-y^2$ => 0, xy <= 1.. x,y => 0.

$\int \int_D \frac{(x^2y^2)e^{-xy}}{(1+x-y^2)^2}$

ex 1: substiuerar variablerna i D

sätter $u=x-y^2$
v = $xy$

jacobianen: $x+2y^2$

facit väljer den här metoden.

--------

ex 2: subsituerar variablerna i funktionen (för det ska inte spela ngn roll)

sätter $u=x+2y^2$
v = $(1+x-y)^2$

jacobianen: $-2 (1 + x - y) - 4 (1 + x - y) y$

----------------------

för jag får ej det tillsamman sak.. 

Hur har du kommit fram till det uttryck som du använder som u i metod 2? Jag hittar inte hur du har fått fram det - framför allt undrar jag varifrån du har fått tvåan framför y-kvadrat.

Hej!

Integrationsområdet ritar jag upp med Desmos och figuren visar att det är lämpligt att dela in området $D$ i linjer där $x\cdot y$ är konstant och där $\frac{y}{x}$ är konstant; inför därför variablerna $u = x \cdot y$ och $v = \frac{y}{x}$. Integrationsområdet blir en rektangel i uv-planet.

    $\displaystyle D'=\{(u,v)\,:\,u \geq 1 \text{ och } 1 \leq v \leq 2\}.$ 

Differentialytelementet $dxdy$ uttrycks i $uv$-planet via funktionaldeterminanten $\frac{d(x,y)}{d(u,v)}$ som $dxdy = \frac{1}{2v}dudv$ och dubbelintegralen kan skrivas som en produkt av två enkelintegraler.

    $\displaystyle\iint_{D'}e^{-u}\frac{1}{2v} dudv = \{\int_{u=1}^{\infty} e^{-u}\,du\} \cdot \{\int_{v=1}^{2}\frac{1}{2v}\,dv\}.$

Båda faktorer är ändliga tal, så den ursprungliga dubbelintegralen är konvergent; mer specifikt är den lika med

    $\displaystyle [e^{-u}]^{1}_{\infty} \cdot [\frac{1}{2}\ln v]_{1}^{2} = e^{-1} \cdot \frac{1}{2} \ln 2 = \frac{\ln 2}{2e}.$

Smaragdalena skrev:

Hur har du kommit fram till det uttryck som du använder som u i metod 2? Jag hittar inte hur du har fått fram det - framför allt undrar jag varifrån du har fått tvåan framför y-kvadrat.

 daaamn, skrev fel! aaarght... så göra om och göra rätt, å återkommer.. :))

Albiki skrev:

Hej!

Integrationsområdet ritar jag upp med Desmos och figuren visar att det är lämpligt att dela in området $D$ i linjer där $x\cdot y$ är konstant och där $\frac{y}{x}$ är konstant; inför därför variablerna $u = x \cdot y$ och $v = \frac{y}{x}$. Integrationsområdet blir en rektangel i uv-planet.

    $\displaystyle D'=\{(u,v)\,:\,u \geq 1 \text{ och } 1 \leq v \leq 2\}.$ 

Differentialytelementet $dxdy$ uttrycks i $uv$-planet via funktionaldeterminanten $\frac{d(x,y)}{d(u,v)}$ som $dxdy = \frac{1}{2v}dudv$ och dubbelintegralen kan skrivas som en produkt av två enkelintegraler.

    $\displaystyle\iint_{D'}e^{-u}\frac{1}{2v} dudv = \{\int_{u=1}^{\infty} e^{-u}\,du\} \cdot \{\int_{v=1}^{2}\frac{1}{2v}\,dv\}.$

Båda faktorer är ändliga tal, så den ursprungliga dubbelintegralen är konvergent; mer specifikt är den lika med

    $\displaystyle [e^{-u}]^{1}_{\infty} \cdot [\frac{1}{2}\ln v]_{1}^{2} = e^{-1} \cdot \frac{1}{2} \ln 2 = \frac{\ln 2}{2e}.$

 mjaaa, men hehe gjorde en ny funktion några inlägg högre upp.

Gör en ny fråga när du börjar använda dig av en ny funktion, som du märker blir det lätt rörigt annars./moderator

Smaragdalena skrev:

Gör en ny fråga när du börjar använda dig av en ny funktion, som du märker blir det lätt rörigt annars./moderator

 mjooo.. men uppg är ju mer en fråga om substition å gränserna.

såååå tycker det är korrelerat med uppgiftens topic?

Även om uppgifterna ytligt sett har med varandra att göra, blir det (som du kan märka i den här tråden) rörigt när du inför nya uppgifter så att "den här integralen" kan betyda ungefär vad som helst. Tråden låses. /moderator