Styckvis definierade funktioner och kontinuitet

Vad är definitionen av kontinuitet? Vilket krav ska f uppfylla i en punkt för att vara kontinuerlig där?

Precis, men jag förstod inte hur definitionen skulle hjälpa här. Vilka punkter ska man sätta in som a? Den kritiska punkten är ju 0, men ska man kolla $\underset{x\to 0}{\lim }$ för både den första och andra delen av funktionen?

Faxxi skrev:

Ska man kolla $\underset{x\to 0}{\lim }$ för både den första och andra delen av funktionen?

Ja! Varsågod och kör

(Lite finare kallar man det för höger och vänster gränsvärde, alltså gränsvärdet då man går från höger och gränsvärdet när man kommer från vänster)

Jag förstår ändå inte. Låt $g\left(t\right)=\frac{\sin 5t}{t}$. g(t) är ju inte definierad för 0, så vi kan inte jämföra gränsvärdet där $x\to 0$ med g(0) eftersom g(0) inte är definierat.

Jo, g(0)=5, glöm inte att den är styckvis definierad

Din funktion g(t) är inte definierad i punkten 0, men däremot är funktionen f som ges i uppgiften det. Med dina beteckningar kan vi skriva f(t)=g(t) om t inte är 0 och f(t)=5 om t=0. Nu ser vi att gränsvärdet då t går mot 0 av f är precis samma som gränsvärdet av g då t går mot 0.

Edit: Och för att kolla kontinuitet jämför vi med f(0)=5

Men ta de här två funktionerna:

Enligt facit gäller:

• B: kontinuerlig för alla x, kontinuerlig funktion
• C: kontinuerlig för x ≠ 0, ej kontinuerlig funktion

Varför det? Varför skulle gränsvärdet inte vara 2 för funktion C, när den är 1 för funktion B?

Har du beräknat gränsvärdet? Om nej, gör det först.

De ges väl bara av $\underset{x\to 0}{\lim }1=1$ och $\underset{x\to 0}{\lim }2=2$?

Du ska beräkna $\lim_{t \rightarrow 0}\frac{\sin t}{t}$ och kolla om detta gränsvärde är lika med $f(0)$. Om så är fallet, så är funktionen kontinuerlig. 

Det är sant att $\frac{\sin t}{t}$ ej är definierad för $t=0$ men när du beräknar ett gränsvärde så undersöker du inte den punkten, du undersöker vad som händer oändligt nära den punkten.

Ok, standardgränsvärdet för $\frac{\sin t}{t}$ verkar vara 1 i sammanhanget. Men det löste jag ju bara för att jag känner till det. Går det inte att räkna ut?

Vad har du för kursbok, detta exempel brukar finnas med? Det vanligaste är att använda sig av en sats som kallas för "squeeze theorem", men det går även att beräkna genom Taylorutveckling, geomtri, etc.

EDIT: Titta, här fanns den på en svensk wikisida.

Stort tack!