"Sturm-Liouville"-uppgift som känns enkel, men där jag jämt får en inkorrekt trivial lösning

Hej, jag har fastnat på en "Sturm-Liouville"-uppgift som ser ut så här:

-u'' = λ⋅u
u(0) + u'(0) = 0
u(1) = 0

Jag har testat att derivera funktionen u och sedan utnyttja villkoren u(0) + u'(0) = 0 och u(1) = 0, vilket då gav mig två ekvationer, men de ekvationerna verkar kräva att båda konstanterna ska ha värdet 0, och facit säger att jag egentligen ska få en drös positiva eigenvärden, där exempelvis eigenvärdet λ = 0 ger eigenfunktionen u(x) = x - 1.
Jag förstår inte vad det är som jag gör fel här.

Låt oss först fundera över fallet $\lambda=0$ . Den allmänna lösningen till $u^\prime^\prime=0$ är $u(x)=c_1x+c_2$ . Randvillkoret vid 0 ger $c_1+c_2=0$ . Randvillkoret vid 1 ger exakt samma krav på konstanterna. En onormerad lösning är alltså $u(x)=c(x-1)$ . Normeringen är enkel att beräkna

$\displaystyle ||u||^2=c^2\int_0^1(x-1)^2\,dx$

För $\lambda\neq 0$ är den generella lösningen

$u(x)=c_1\cos(\nu x)+c_2\sin(\nu x)\qquad\quad (\lambda=\nu^2)$

Nu är det återigen bara att studera randvillkoren och fortsätta enligt plan. Tänk på att en lösning multiplicerad med en konstant också är en lösning, ett listigt val som kan underlätta räkningarna är $c_1=\nu$ .

Svara