Strikt växande funktion, lös olikhet

När en funktion är strängt växande betyder det (lite informellt) att funktionens värde ökar när $x$ ökar. 
Ett exempel på en strängt växande funktion är $e^x$. Ju större $x$ blir, desto större blir $e^x$. Men för många funktioner stämmer detta inte. Ett exempel är $x^3-x$. För $x=0$ blir funktionens värde 0, men om vi sätter in typ $x = \frac 12$ får vi $\frac 18 - \frac 12 = -\frac 38$. 

Tänk då om du har just olikheten $0 < \frac 12$. Detta är en sann olikhet. Om vi låter $f(x) = e^x$ och, som i definitionen som du bifogade, tar $f$ på båda sidor får vi $f(0) < f(\frac 21)$, alltså $e^0 < e^{\frac 12}$. Detta är också sant, $e^{\frac 12} \approx 1.64$.
Men om vi istället låter $f(x) = x^3-x$ får vi inte en sann olikhet när vi tar $f$ på båda sidor.

Vi kan säga att en strängt växande funktion behåller dessa olikheter eftersom det alltid stämmer att ett större värde på $x$ ger ett större värde på funktionen. Men för funktioner som är avtagande någonstans stämmer inte detta, som vi såg i exemplet med $x^3-x$. Även om $x=\frac 12$ är ett större värde än $x=0$ är inte funktionens värde det eftersom att funktionen är avtagande just där. 

PS: Vill också nämna att funktioner kan vara växande eller avtagande under vissa intervall. För exemplet $x^3-x$ är den avtagande när $0\leq x < \frac{1}{\sqrt{3}}$ (egentligen lite längre bak). När x är större än $\frac{1}{\sqrt{3}}$ är den också strängt växande.
Såhär ser funktionen ut. 

Ja, strikt och strängt växande är samma sak. Rent logiskt är det det kontrapositiva påståendet som används i detta exempel.