Streckade området (Matematik/Matte 3)

Du kan börja med att ställa upp uttryck för de båda areorna var för sig och sedan bara sätta plustecken mellan dem. Hur stor är den som är streckad uppåt höger?

Det andra sättet är nog att utnyttja att det är en rektangel i mitten, så man bara integrerar sidoområdena.

Jag förstår inte riktigt vad du gör.

Här kommer två förslag på metoder.

Förslag 1:

Areaberäkna de två streckade områdena var för sig och summera deras areor.

Då behöver du veta att arean mellan två kurvor är lika med integralen av ("övre funktionen" minus "undre funktionen").

I det vänstra streckade området är övre funktionen y = 0 och den undre funktionen f(x).

I det högra streckade området är övre funktionen f(x) och den undre funktionen y = -4.

Förslag 2:

Beräkna arean av den kvadrat vars ena hörn ligger i origo och det diagonalt motsatta hörnet ligger i (4, -4).

Subtrahera från det arean av de två vita områdena till vänster och höger om de streckade.

Förslag 2 blir enklare.
Area blir

4*4=16ae

Hur beräknar jag arean i det vita området?

Hur beräknar jag arean i det vita området?

Med hjälp av integraler. Hur skulle de integralerna se ut?

Ja men vad är funktionen som jag ska integrera?

ska jag bara göra så här

1

∫ f(x) dx
0

Hur ska man tänka när man inte har funktionen som skall integreras

Det räcker så (med den delen), du skall ta fram ett uttryck, inte ett värde. Men du är inte klar än.

Det streckade området blir alltså

16ae minus

1

∫ f(x) dx
0

Du har ett vitt område till...

Hur räknar jag arean av det området?

Med en integral. Vilken är överfunktionen? Vilken är underfunktionen? Vilka är integrationsgränserna?

Ja men vilken funktion ska jag använda? När jag ska integrera?

Titta på bilden.

det vita områdets area beräknas på följande sätt

$(1 * 4) - \int_{3}^{4} f (x) d x g e r o s s d e t v i t a o m r å d e t$

Ja, eller så kan du beräkna integralen för (1-f(x)) mellan 3 och 4.

Det jag är med på är hur man beräknar arean under området (1). Däremot förstår jag inte hur man gör i området (2).

Smaragdalena skrev:
Ja, eller så kan du beräkna integralen för (1-f(x)) mellan 3 och 4.

$\int_{3}^{4} 1 - f (x) d x$

Smaragdalena skrev:
Smaragdalena skrev:

Det är tankesättet jag inte förstår.

Katarina149 skrev:
Smaragdalena skrev:
Smaragdalena skrev:

Det är tankesättet jag inte förstår.

Vilket tankesätt är det du inte förstår?

Hur man ska räkna ut arean i område 2 .

Som jag har markerat på bilden.

Katarina149 skrev:
Hur man ska räkna ut arean i område 2 .

Som jag har markerat på bilden.

Smaragdalena skrev:
Smaragdalena skrev:
Ja, eller så kan du beräkna integralen för (1-f(x)) mellan 3 och 4.

Jag såg fel i bilden. Integranden skall vara 0-f(x). 0 är ju överfunktionen och f(x) underfunktionen, om man vill beräkna arean för det vita området markerar med 2.

jag förstår inte vad du menar med det du skrev

Titta på det vita området som du har markerat med 2. Är du med på att i x-led så är punkten längst till vänster x = 3 och längst till höger är x = 4?

Område 1: Övre funktion $f(x)$ , undre funktion $g(x)=-4$ .

Arean är $\int_0^1(f(x)-g(x))\operatorname dx=$

$=\int_0^1(f(x)+4)\operatorname dx$ .

Område 2: Övre funktion $h(x)=0$ , undre funktion $f(x)$ .

Arean är $\int_3^4(h(x)-f(x))\operatorname dx=$

$=\int_3^4(0-f(x))\operatorname dx=-\int_3^4f(x)\operatorname dx$

Förstod du alla steg i det resonemanget?

Nej kan vi ta det Steg för steg istället. Hur fick du dina integral uttryck. Vore bättre om du förklarade stegvist , dvs 1. , 2. 3. Så att jag kan säga vilket steg jag inte förstod

varför ska man ta övrefunktion-underfunktion? Mellan intervallet 0 och 1? Och fick du det till att bli (f(x)+4)?

sen förstår jag inte hur du beräknade arean under område 2. Vad står h(x) för och varför är det noll? Är det x axeln ovanför funktionen f(x) som du kallar h(x) för? Varför ska man utgå ifrån intervallet x=3 till x=4?

OK. Vilket/vilka av följande steg är du inte med på?

Om du har två olika grafer i ett x/y-koordinatsystem och jämför deras höjd i ett intervall så ligger den ena grafen "ovanför" den andra, dvs vid varje x-koordinat är den ena grafens y-värden större än den andra grafens y-värden.
Den graf som ligger ovanför den andra hör till det vi kallar den "övre funktionen". Den graf som ligger under den andra hör till det vi kallar den "undre funktionen".
Arean mellan dessa två grafer i intervallet är lika med integralen av ("övre funktionen" - "undre funktionen") i intervallet.
När det bara syns en graf i koordinatsystemet så kan du ändå tänka på samma sätt genom att låta den andra grafen vara x-axeln, dvs grafen till den konstanta funktionen 0.
Om $f(x)$ är den "övre funktionen" och $g(x)$ är den "undre funktionen" i intervallet $[a,b]$ så är arean mellan de två graferna alltså lika med $\int_a^b(f(x)-g(x))\operatorname dx$ .
Om du endast ska beräkna arean mellan $f(x)$ och x-axeln så är $g(x)=0$ .
Om då grafen till $f(x)$ ligger ovanför x-axeln så är $f(x)$ den övre funktionen och arean blir då lika med $\int_a^b(f(x)-0)\operatorname dx=\int_a^bf(x)\operatorname dx$ .
Om grafen till $f(x)$ ligger under x-axeln så är $f(x)$ den undre funktionen och arean blir då lika med $\int_a^b(0-f(x))\operatorname dx$ , dvs $\int_a^b(-f(x))\operatorname dx$ , dvs $-\int_a^bf(x)\operatorname dx$ .

Jag hänger med alla steg, behöver dock en förklaring på varför g(x)=0? I steg 6. hur du beräknade arean under grafen. Är det x axeln ovanför funktionen f(x) som du kallar h(x) för? Varför ska man utgå ifrån intervallet x=3 till x=4?

Steg 6: Därför att du då ändå kan använda samma tankesätt "övre funktion" minus "undre funktion".

Det betyder att du inte behöver memorera någon specialregel för om f(x) ligger ovanför eller under x-axeln.

är det rätt nu?

En viktigare fråga - förstod du hur man kan tänka vad gäller areaberäkning med integraler, dvs allt prat om "övre" och "undre" funktion?

Ja det klarnade mot slutet. Men är min uträkning rätt?

Ja den är rätt, men du bör skriva 16 istället för 4*4, byta ut g(x) mot -4 och förenkla integraluttrycken innan du svarar.