Strategihjälp

Säg att det är n stycken kapsyler. Du vet då att

$n = 5k_1 + 4$

Eftersom om han lägger de i grupper om 5 så får han fyra över, så här är $k_1$ antalet grupper. Sedan vet du att om han lägger dem i grupper av 7 så får han sex över, alltså

$n \equiv 6 \text{ (mod 7)}$

Vilket innebär att

$5k_1 + 4 \equiv 6 \text{ (mod 7)}$

$5k_1 \equiv 2 \text{ (mod 7)}$

$3\cdot 5 k_1 \equiv 6 \text{ (mod 7)}$

$k_1 \equiv 6 \text{ (mod 7)}$

Så vi vet därför att $k_1 = 7k_2 + 6$, vilket innebär att

$n = 5k_1 + 4 = 5(7k_2 + 6) + 4 = 35k_2 + 34$

Alltså får vi att antalet kapsyler kan vara $35m + 34$ där $m \ge 0$.

Stokastisk skrev :

Säg att det är n stycken kapsyler. Du vet då att

$n = 5k_1 + 4$

Eftersom om han lägger de i grupper om 5 så får han fyra över, så här är $k_1$ antalet grupper. Sedan vet du att om han lägger dem i grupper av 7 så får han sex över, alltså

$n \equiv 6 \text{ (mod 7)}$

Vilket innebär att

$5k_1 + 4 \equiv 6 \text{ (mod 7)}$

$5k_1 \equiv 2 \text{ (mod 7)}$

$3\cdot 5 k_1 \equiv 6 \text{ (mod 7)}$

$k_1 \equiv 6 \text{ (mod 7)}$

Så vi vet därför att $k_1 = 7k_2 + 6$, vilket innebär att

$n = 5k_1 + 4 = 5(7k_2 + 6) + 4 = 35k_2 + 34$

Alltså får vi att antalet kapsyler kan vara $35m + 34$ där $m \ge 0$.

Oj, hängde verkligen inte med alls. :P

Är du med på det första iaf att $n = 5k_1 + 4$? Jag antar att ni håller på med modulär aritmetik?

Stokastisk skrev :

Är du med på det första iaf att $n = 5k_1 + 4$? Jag antar att ni håller på med modulär aritmetik?

k1 hänger jag inte med på (alltså förstår att man ska benämna kapsyler per grupp eller hur man ska uttrycka sig). Jag läser till lärare i åk 4-6 och läser matte just nu, mellanstadie- och högstadiematte i princip... taluppfattning, aritmetik och algebra.

För att hänvisa till teorin så är det här satsen som man kallar för divisions algoritmen (låt dig inte luras av att den kallas algoritm, det är en sats, ingen algoritm).

Men om vi kallar antalet hela grupper för $k_1$, då har vi ju 5 kapsyler i varje grupp, alltså $5k_1$ stycken kapsyler. Sedan har vi ytterligare 4 stycken kapsyler vilket innebär att vi har $5k_1 + 4$ stycken kapsyler. Därför får man

$n = 5k_1 + 4$

Okej, men det jag undrar över är om du är med på vad jag menar med (mod 7) och liknande, eller är det helt främmande för dig?

Stokastisk skrev :

För att hänvisa till teorin så är det här satsen som man kallar för divisions algoritmen (låt dig inte luras av att den kallas algoritm, det är en sats, ingen algoritm).

Men om vi kallar antalet hela grupper för $k_1$, då har vi ju 5 kapsyler i varje grupp, alltså $5k_1$ stycken kapsyler. Sedan har vi ytterligare 4 stycken kapsyler vilket innebär att vi har $5k_1 + 4$ stycken kapsyler. Därför får man

$n = 5k_1 + 4$

Okej, men det jag undrar över är om du är med på vad jag menar med (mod 7) och liknande, eller är det helt främmande för dig?

nej, mod 7 är helt nytt. Det har jag nog faktiskt aldrig ens hört/läst när man faktiskt gick i skolan och läste all denna matte.

Okej, men du vet att antalet kapsyler är någon av

$n = 7k + 6$

För då får du resten 6 vid division med 7. Nu ska du få resten 4 vid division med 5 också. Då kan du gå igenom $k = 0, 1, 2, \ldots$ för att se när du får det.

Sedan behöver du bara inse att du kan lägga på multipler av minsta gemensamma multipel av 5 och 7, dvs 35 utan att det påverkar resten man får vid division med 7 och 5.

Ett annat sätt att säga samma sak som Stokastisk är att det första villkoret betyder att antalet kapsyler måste finnas i "femmans tabell plus 4", dvs 0+4, 5+4, 10+4 osv.

Det andra villkoret betyder att antalet kapsyler måste finnas i "sjuans tabell plus 6" dvs 0+6, 7+6, 14+6 osv.

Om du nu tittar på talen så ser du att "femmans tabell plus 4" är samma sak som "femmans tabell minus 1". På samma sätt blir "sjuans tabell plus 6" samma sak som "sjuans tabell minus 1".

Nu ska vi hitta ett tal som finns både i "femmans tabell minus 1" och i "sjuans tabell minus 1". Man ser lätt att det gäller alla tal som finns i både femmans och sjuans tabell, minus 1.

Det första talet som finns i både femmans och sjuans tabell är 35, och 35-1=34. Det lägsta antalet kapsyler han kan ha är alltså 34. Sedan kan man resonera likadant för alla multipler av 35.

Att jag gjorde om det till "minus 1" i stället för "plus 4" och "plus 6" beror på att det blir lättare att hitta rätt då. Och vad gäller modulär aritmetik ingår det i Matte 5 nuförtiden, men förr lästes det inte alls på gymnasiet, så det är många som aldrig kommit i kontakt med det.

SvanteR skrev :

Ett annat sätt att säga samma sak som Stokastisk är att det första villkoret betyder att antalet kapsyler måste finnas i "femmans tabell plus 4", dvs 0+4, 5+4, 10+4 osv.

Det andra villkoret betyder att antalet kapsyler måste finnas i "sjuans tabell plus 6" dvs 0+6, 7+6, 14+6 osv.

Om du nu tittar på talen så ser du att "femmans tabell plus 4" är samma sak som "femmans tabell minus 1". På samma sätt blir "sjuans tabell plus 6" samma sak som "sjuans tabell minus 1".

Nu ska vi hitta ett tal som finns både i "femmans tabell minus 1" och i "sjuans tabell minus 1". Man ser lätt att det gäller alla tal som finns i både femmans och sjuans tabell, minus 1.

Det första talet som finns i både femmans och sjuans tabell är 35, och 35-1=34. Det lägsta antalet kapsyler han kan ha är alltså 34. Sedan kan man resonera likadant för alla multipler av 35.

 

Att jag gjorde om det till "minus 1" i stället för "plus 4" och "plus 6" beror på att det blir lättare att hitta rätt då. Och vad gäller modulär aritmetik ingår det i Matte 5 nuförtiden, men förr lästes det inte alls på gymnasiet, så det är många som aldrig kommit i kontakt med det.

Tack för ditt svar, jag hängde med lite bättre där. Jag tror jag behöver hitta liknande uppgifter att öva metoden på då för att det ska sitta ordentligt.

Jag tror jag förstår ditt sätt helt (smart, det där med tabell-x!)  men... så läste jag en ganska snarlik uppgift i en övningstenta, där kapsyler samlas i 5 grupper och får 4 över, samlas i 6 grupper och får 4 över, samlas i 7 grupper och då blir där inga över. Enligt lösningen är  det "Första villkoret ger oss information om att antalet kapsyler motsvarar ett tal med slutsiffran 4:a eller 9:a. Andra villkoret ger oss information om att slutsiffran är jämn och att siffersumman är 1 större än tal delbart med 3 exempelvis 4, 7, 10, 13 o.s.v. d.v.s. tal på formen 3𝑛𝑛+1."  Här vet jag inte om jag förstår deras uttryck för villkoren...

Hinner inte skriva långt nu, men prova att skriva dina tal från tentauppgiften i tre kolonner. Lista ganska många och titta efter mönster. Vilka mönster ser du?