Strategi för att konstruera formler för summor

En integral är väsentligen en summa (något handviftande). 

Om man integrerar ett polynom av grad k så får man ett polynom av grad (k + 1).

På samma sätt så kan man kanske anta att om man summerar polynom av grad k så får man ett polynom av grad (k + 1).

Du kan göra den ansatsen, se att den stämmer och sedan göra induktionsbeviset. 

Skulle du kunna förklara vad du menar? Kan ändå kanske köpa att summaformelns ekvation kommer vara av en grad högre än polynomet som summeras, men det känns ändå som en lång väg därifrån att komma fram till hela formeln. Finns det något mer man kan ta reda på?

Vänta nu har jag funderat lite mer på din kommentar och i åtminstone dessa två fall verkar detta gälla:

n(3n+3)=3n²+3n
Integrera termen med högst grad (3n² --> n³). Denna term kommer finnas med i summaformeln
s_n verkar stå på formen n³+kn²+pn där k, p tillhör de naturliga talen
Använder olika värden på s_n(givna ur uppgiften) för att skapa ekvationssystem. Ur detta löses k och p ut. Det ger k=3 och p=2. Alltså: s_n=n³+3n²+2n, vilket stämmer med facit

I b) blir det ett betydligt struligare ekvationssystem pga tre termer, men även det ger den korrekta formeln. Känns som att jag har hittat ett kryphål i matrix typ. Är detta en generell regel? I så fall, var det detta du menade?

Det är känt att en summa ökar graden med 1 om summanden är ett polynom. Det går nog att betrakta som ett etablerat faktum. Men hur är det med kopplingen till integrering.

För din intuition; du köper nog att

$\displaystyle \sum k^2$

approximerar integralen av funktionen $x^2$ och ju fler termer vi inkluderar, ju mer noggrann blir approximationen. Alla primitiva funktioner till $x^2$ är just $x^3/3+C$. Vi har ökat graden med 1.

Denna uppgift

Tricket för din uppgift tror jag är att studera uttrycket för n:e termen:

$n(3n+3)= 3(n^2+n)$

$\displaystyle \sum n(3n+3) = 3(\sum n^2+\sum n)$

Formler för båda av dessa (summa n och summa n^2) bör du ha tillgång till som standardformler. Annars vet du nu hur man härleder dem tack vare Dr. Gs och din egen snillrikedom.

Det blir så klart snabbt grötigt med många okända när du bygger ditt generella polynom av grad 4, till exempel, men det går.

b) är speciellt intressant och med nedanstående bevis framgår det tydligt att den slutna formen för summan är ett gradtal högre än termernas gradtal. Det beror på 'reduktionsidentiteterna' som ger upphov till teleskopsumma i VL;

Sedan är det bara att fortsätta p.s.s. och beräkna summan för k^4, k^5, k^6, ...