Strängt växande, strängt avtagande

Derivatan i uppgift 17 är en rät linje med lutningen 1, ungefär. 1 > 0, så derivatan är strängt växande i hela intervallet.

OK om vi tittar på derivatan ja då är det helt rätt att f'(x) är strängt växande i X > 2,5 och strängt avtagande i x < 2,5, men sen i c) tittar vi på funktionen och den ser ut så här:

Jag antar att det är ett enkelt skrivfel, för f'(x) är ju strängt växande hela vägen. Man måste komma ihåg att f'(x) > 0 är ett tillräckligt men inte nödvändigt villkor för att grafen ska vara strängt växande. Dessutom är det ju så att om något är strängt växande för det slutna intervallet (x>=2.5) så är det också sant för det öppna intervallet x>2.5. Men det är lite av en truism, och knappast svar på din fråga.

Här tycker jag att man tydligt beskriver att för derivatan gäller en sak men för grundfunktionen en annan sak och i det exempel 17 jag bifogat frågar man efter "för vilka värden på X är funktionen (obs. ej f'(X) min kommentar) strängt växande respektive strängt avtagande"

Det jag sa om tecknet på f' som tillräckligt men inte nödvändigt kanske är hela skillnaden? Jag tycker det. Ta som exempel funktionen $x^3$ som har en inflexionspunkt i x=0, där är f' = 0, men den är ändå strängt växande på hela intervallet (inklusive nollan).

Men... Det hindrar inte att du har en poäng, och efter sista rundan med det här lutar jag åt att svaret på var funktionen är strängt växande aldrig(?) kan vara ett öppet intervall. Jag kan inte konstruera ett exempel där funktionen är definierad i en punkt och den punkten inte ingår i definitionen för var den är strängt växande eller avtagande. Vad jag menar är att du kan ta f=1/x, som är definierad på R/{0}, och där får man den strängt avtagande på ett öppet intervall $(0,\infty )$, men det krävs funktioner som i sig saknar ändpunkten för att den ändpunkten inte ska ingå (sluta) intervallet.

Det enda sättet att förstå svaret på 17b är att det handlar om vad man kan läsa ut från derivatan, för jag tycker (som du) att den är sträng växande (och avtagande) på det slutna intervallet.

Lessen att jag inte kan göra något klarare utan bara ge moraliskt stöd genom att visa att jag tycker du har rätt i att vara förvirrad. Jag hoppas att det jag sa var begripligt, om inte; säg till så försöker jag förtydliga vad jag menar.

Smaragdalena som du ser är vi fler förvirrade. Att derivatan är strängt växande är vi överens om, men frågan gäller funktionen f(x). Om du läser deras svar på 17 b) ser du att de anger att "för x < 2,5 är funktionen strängt avtagande och för X > 2,5 är funktionen strängt växande"

Med stöd av mattecentrums förklaring, se ovan,  menar jag att det ska vara X $\le$ 2,5 och X $\ge$ 2,5 för funktionen f(X)

PeBo skrev :

Men... Det hindrar inte att du har en poäng, och efter sista rundan med det här lutar jag åt att svaret på var funktionen är strängt växande aldrig(?) kan vara ett öppet intervall. Jag kan inte konstruera ett exempel där funktionen är definierad i en punkt och den punkten inte ingår i definitionen för var den är strängt växande eller avtagande. Vad jag menar är att du kan ta f=1/x, som är definierad på R/{0}, och där får man den strängt avtagande på ett öppet intervall $(0,\infty )$, men det krävs funktioner som i sig saknar ändpunkten för att den ändpunkten inte ska ingå (sluta) intervallet.

Du kan definiera en funktion g(x) som är lika med f(x) i exempel 17 för alla x förutom x = 2.5 och g(2.5) = 0, den är strängt avtagande för x < 2.5 och strängt växande för x > 2.5. Du kan inte inkludera ändpunkten i något av intervallen för strängt växande/avtagande för g(x).

I 17b borde ändpunkten 2.5 ingå i intervallen för strängt växande/avtagande för f(x).

Jag håller med om att funktionen borde vara strängt växande/ strängt avtagande i de slutna intervallen i det här fallet - jag kan inte förstå varför de inte skulle vara det. Jag förstod nog inte frågan när jag skrev mitt förra svar.

Varifrån kommer det första citatet du klistrade in, dioid?

OK nu har jag hunnit både skriva ut och läsa era svar. PeBo du har förklarat mycket bra, och så vitt jag förstår håller även Smaragdalena med om att i detta fall vad gäller f(X) så är det ett slutet intervall det handlar om och är det f'(X) så är det ett öppet intervall. Vilket gör att det är en tolkningsfråga vad läroboken syftar på, men tittar vi facit så bör det vara f'(x) de syftar på?

Ursäkta dioid jag missade ditt svar, men det här förstår jag inte?
"Du kan definiera en funktion g(x) som är lika med f(x) i exempel 17 för alla x förutom x = 2.5 och g(2.5) = 0, den är strängt avtagande för x < 2.5 och strängt växande för x > 2.5. Du kan inte inkludera ändpunkten i något av intervallen för strängt växande/avtagande för g(x)."
Hur menar du då? Om g(2.5) = 0 så är den väl exakt lika f(X)?

@Smaragdalena -- jag tror att dioid fumlade sina block-quotes lite, så den hen ser ut att säga var det jag sa, och de två citaten är nog det dioid påstår.

@dioid -- Det känns som att din avsikt var att ge ett exempel som motsäger det jag tentativt påstår, men exemplet faller inom det jag påstår: Att endast en funktion som har en definition på ett öppet intervall kan vara strängt växande/avtagande på ett öppet intervall. Så snart funktionen har definition på ett slutet intervall så är den strängt växande eller avtagande på det slutna intervallet.

Jag inser att det bara gäller för "snälla" funktioner, dvs såna där funktionen har derivata överallt och den är deriverbar i ändpunkten med en enkelsidig definition av derivatan, eller om det kanske är kontinuerliga de ska vara för att vara tillräckligt snälla. Ger man avkall på det där villkoret om deriverbarhet på hela slutna intervallet så kan man konstruera en sån här:

$\left\{\begin{array}{l}1 x \in \left\{0\right\}\\ x^2 x \in (0,\infty )\end{array}\right.$

som är definierad på halvöppna intervallet $[0,\infty )$, dess derivata på $(0,\infty )$ och den är strikt växande på $(0,\infty )$.

Bortsett från såna patologiska fall påstår jag att för alla kontinuerliga funktioner som har definition på ett slutet intervall så är de också strängt växande/avtagande på det slutna intervallet.

Har jag fel?

Det här sista förstod jag bara vissa delar av, men så befinner jag mig bara på matte 3C- nivå ännu.
Jag tror dock att jag börjar få det här klart för mig nu.

Tack alla ni som hjälpt till med svar. 

PeBo skrev :

@dioid -- Det känns som att din avsikt var att ge ett exempel som motsäger det jag tentativt påstår, men exemplet faller inom det jag påstår: Att endast en funktion som har en definition på ett öppet intervall kan vara strängt växande/avtagande på ett öppet intervall. Så snart funktionen har definition på ett slutet intervall så är den strängt växande eller avtagande på det slutna intervallet.

Den funktion jag gav är definierad på hela intervallet, låt vara att det inte är med en formel över hela intervallet utan styckvis, men det går nog att krysta till med en formel om man vill.

Bortsett från såna patologiska fall påstår jag att för alla kontinuerliga funktioner som har definition på ett slutet intervall så är de också strängt växande/avtagande på det slutna intervallet.

Har jag fel?

Det stämmer. Om f är definierad och kontinuerlig på [a,b] och (strängt) växande på (a,b) så är den (strängt) växande på [a,b].

För en kontinuerlig funktion gäller $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}f\left(a\right)$ men för ovanstående räcker att $f\left(a\right) \le \underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)$ och $f\left(b\right)\hspace{0.17em}\ge \underset{x\to b}{\lim }f\left(x\right)$ för att den ska vara (strängt) växande på [a,b] om den är (strängt) växande på (a,b). Det kallas att f är nedåt halvkontinuerlig i a och uppåt halvkontinuerlig i b.

dioid skrev :

Den funktion jag gav är definierad på hela intervallet, låt vara att det inte är med en formel över hela intervallet utan styckvis, men det går nog att krysta till med en formel om man vill.

Då förstår jag -- jag fick för mig att du tog bort punkten x, men jag ser nu att du gav den ett annat värde. Då får man istället en funktion där derivatan inte är definierad i punkt x=0. Då tror jag vi är överens om hur det funkar -- och TS får rätt i att boken har inte borde ha exkluderat ändpunkten.

:)