Strängt växande/avtagande & maximi/minimipunkter

Mawkey skrev :

Har försökt förstå exakt hur jag ska derivera när fråga lyder så här:

$f\left(x\right)=2x{e}^x, -4\le x\le 1$

a. Bestäm de intervall där funktionen f är strängt växande/avtagande samt ange alla maximi och minimipunkter.

b. Bestäm de intervall där funktionen f är konvex/konkav samt ange eventuella inflexionspunkter.

 

Jag har förstått att jag måste börja med att derivera, men är osäker hur jag gör i ett problem som detta.

Du kan se f(x) som en produkt av två funktioner. Då kan du använda produktregeln vid derivering.

Om f = gh så är f' = (gh)' = g'h + gh'

Här kan du sätta g = 2x och h = e^x, vilket betyder att f(x) = gh.

Ta nu fram uttryck för g' och h' och sätt ihop uttrycket för f'.

Yngve skrev :

Du kan se f(x) som en produkt av två funktioner. Då kan du använda produktregeln vid derivering.

Om f = gh så är f' = (gh)' = g'h + gh'

Här kan du sätta g = 2x och h = e^x, vilket betyder att f(x) = gh.

Ta nu fram uttryck för g' och h' och sätt ihop uttrycket för f'.

$f\left(x\right)=2x{e}^x$

$f\text{'}\left(2x\right)=2$ och $f\text{'}\left(e^x\right)=e^x$

$2e^x+2x{e}^x$ = $e^x(2+2x) = 2e^x(1+x)$

x = 0, x = -1

Sedan gör jag en teckentabell för att se var den är växande och avtagande. Har jag tänkt rätt här?

Tack så mycket för respons!

Mawkey skrev :

Yngve skrev :

Du kan se f(x) som en produkt av två funktioner. Då kan du använda produktregeln vid derivering.

Om f = gh så är f' = (gh)' = g'h + gh'

Här kan du sätta g = 2x och h = e^x, vilket betyder att f(x) = gh.

Ta nu fram uttryck för g' och h' och sätt ihop uttrycket för f'.

$f\left(x\right)=2x{e}^x$

$f\text{'}\left(2x\right)=2$ och $f\text{'}\left(e^x\right)=e^x$

$2e^x+2x{e}^x$ = $e^x(2+2x) = 2e^x(1+x)$

x = 0, x = -1

Sedan gör jag en teckentabell för att se var den är växande och avtagande. Har jag tänkt rätt här?

Tack så mycket för respons!

Du har tänkt och deriverat rätt men du har skrivit konstigt när du skrev att f'(2x) = 2 och f'(e^x) = e^x. Det stämmer inte.

Däremot stämmer det att om g(x) = 2x så är g'(x) = 2 och om h(x) = e^x så är h'(x) = e^x, vilket jag antar var vad du menade.

-----

Men om sedan menar att f'(x) = 0 vid x = 0 så är det inte rätt. Den enda lösningen till den ekvationen är x = -1. Använd sedan andraderivatan eller teckentabell för att ta reda på om (-1, f(-1)) är en min-eller maxpunkt.

Sedan gäller att funktionen f(x) är strängt växande i de intervall där f'(x) > 0 och strängt avtagande i de intervall där f'(x) < 0.

Yngve skrev:

Du har tänkt och deriverat rätt men du har skrivit konstigt när du skrev att f'(2x) = 2 och f'(e^x) = e^x. Det stämmer inte.

Däremot stämmer det att om g(x) = 2x så är g'(x) = 2 och om h(x) = e^x så är h'(x) = e^x, vilket jag antar var vad du menade.

-----

Men om sedan menar att f'(x) = 0 vid x = 0 så är det inte rätt. Den enda lösningen till den ekvationen är x = -1. Använd sedan andraderivatan eller teckentabell för att ta reda på om (-1, f(-1)) är en min-eller maxpunkt.

Sedan gäller att funktionen f(x) är strängt växande i de intervall där f'(x) > 0 och strängt avtagande i de intervall där f'(x) < 0.

Tack så mycket för hjälpen, förstår nu hur jag ska göra på fråga a. Har försökt hitta information om hur man finner konkav, konvex och inflexionspunkter men har problem. Om du eller någon skulle kunna hjälpa med detta så skulle det uppskattas mycket!

Japp. Här hittar du allt du behöver veta.