Strängt växande/avtagande

Hej! Jag får fel på följande uppgift:

Derivatans nollställen är $- \sqrt{2}$ och $\sqrt{2}$ , däremellan avtar den, i övrigt växer den. Jag anser att den är strängt avtagande i det öppna intervallet $(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$ eftersom ändpunkternas lutning är 0. I facit anger de dock att den är strängt avtagande i det slutna begränsade intervallet $[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$ . (Motsvarande gäller för de övriga intervall där funktionen växer - där har de också tagit med ändpunkterna.) Hur kan detta stämma? För strängt avtagande gäller ju $f' < 0$ , inte $f' \leq 0$ - då är den ju bara avtagande.

Använd medelvärdessatsen.

f(b) - f(a) = f’( $ξ$ )(b - a), där a < $ξ$ < b.

Strängt växande/avtagande funktion FÅR vara 0 i enstaka punkter, men inte på något intervall. Funktionen är alltså både växande och avtagande i punkterna $-\sqrt2$ och $\sqrt2$ .

PATENTERAMERA skrev:

Använd medelvärdessatsen.

f(b) - f(a) = f’( $ξ$ )(b - a), där a < $ξ$ < b.

- - -

Definition: En funktion är strängt avtagande (alt. växande) i ett intervall I = [A, B] om, för varje a, b $\in$ I, a < b implicerar att f(b) < f(a) (alt. f(a) < f(b)).

Är vår funktion f strängt avtagande i intervallet I = [- $\sqrt{2}$ , $\sqrt{2}$ ]?

Vi vet att f’(x) < 0 då x $\in$ (- $\sqrt{2}$ , $\sqrt{2}$ ).

Om a, b $\in$ I och a < b så säger medelvärdessatsen (som är tillämplig här därför att f är deriverbar i varje punkt på reella axeln) att det finns ett värde $ξ$ $\in$ (a, b) sådant att

f(b) - f(a) = f’( $ξ$ )(b - a) (1).

Eftersom a, b $\in$ I och så måste (a, b) $\subset$ (- $\sqrt{2}$ , $\sqrt{2}$ ), så vi vet därför att f’( $ξ$ ) < 0.

Högerledet i (1) är därför mindre än 0 och det följer därför att

f(b) - f(a) < 0, vilket är ekvivalent med f(b) < f(a), och såldes är f strängt avtagande i intervallet I. QED

Svara

Visa senaste svar