största värdet för (x+y)^2

Cirkelns ekvation är $x^2+y^2=1$. Prova att utveckla $(x+y)^2$. Vad händer? :)

Smutstvätt skrev:

Cirkelns ekvation är $x^2+y^2=1$. Prova att utveckla $(x+y)^2$. Vad händer? :)

vad menar du med cirkelns ekvation?

(x+y)²  = x² + 2xy + y²

så om x² + y²  = 1 då är (x+y)² = 1 + 2xy? 

Mycket riktigt! Frågan är nu hur vi maximerar $2xy$. Det går att köra en stenhård, algebraisk metod och säga att givet att $x^2+y^2=1$, kan vi säga att $y=\pm \sqrt{1-x^2}$, vilket innebär att vi vill maximera $2xy=2x\sqrt{1-x^2}$. Men... Det uttryckets maximum kan inte hittas med algebraiska metoder som lärs ut i Ma2. Vi kan lösa den ekvationen grafiskt om vi vill. :) 

Ett liknande, men lite fuskigt, sätt att tänka är att se arean som bildas mellan origo och en punkt på cirkeln:

Vi vet från liknande uppgifter att en rektangel (med en given omkrets) har en area som maximeras om rektangeln har en kvadratisk form. Då får vi följande figur:

Vad är a? :)

Med pythagoras sats får jag $a =\hspace{0.17em}\sqrt{1-b^2}$

Men jag hänger fortfarande inte med... Vad menar du med cirkelns ekvation och "maximera 2xy"?

Jag har koll på hur man hittar minimi- och maximipunkter men jag vet inte om det är de du syftar på med uttryckets maximum. 

Hur kommer vi förresten fram till den fuskiga metoden? 

Jag kan tycka att detta ligger utanför nivån för matte 2 när man varken gått igenom enhetscirkeln eller cirkelns ekvation. Denna uppgiften löses nog enklast om man inser att man kan låta $x= \cos(\theta)$ och $y=\sin(\theta)$ och då behövs endast $1+2\cos(\theta)\sin(\theta)$ maximeras. Dock tycker jag Smutstvätts idé är bra!

Angående cirkelns ekvation, vi kan beskriva en cirkel på följande vis: $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$, där $(x_0,y_0)$ är mittpunkten. Eftersom vi har mittpunkten i origo kan vi skriva det som $x^2+y^2=1^2$. Det finns dock en algebraisk lösning som inte involverar trigonometri. 

Vi vet att $x^2+y^2=1$, detta ger $(x+y)^2+(x-y)^2=2(x^2+y^2)=2$.

På enhetscirkeln gäller att x = cosv och y = sinv.

Så 1 + 2xy = 1 + 2cosv$·$sinv = 1 + sin(2v).

Man kan maximera x+y lika gärna. Så betrakta linjer x+y=C och se vilken som ger det största värdet och samtidigt nuddar cirkeln.

Laguna skrev:

Man kan maximera x+y lika gärna. Så betrakta linjer x+y=C och se vilken som ger det största värdet och samtidigt nuddar cirkeln.

Jag vet inte om jag har förstått det rätt men stämmer inte 0,8 + 0,6 = 1,4? Största värdet som nuddar cirkeln. 

Tja, det är ungefär rätt, men det är inte exakt rätt.

Dracaena skrev:

Jag kan tycka att detta ligger utanför nivån för matte 2 när man varken gått igenom enhetscirkeln eller cirkelns ekvation. Denna uppgiften löses nog enklast om man inser att man kan låta $x= \cos(\theta)$ och $y=\sin(\theta)$ och då behövs endast $1+2\cos(\theta)\sin(\theta)$ maximeras. Dock tycker jag Smutstvätts idé är bra!

Angående cirkelns ekvation, vi kan beskriva en cirkel på följande vis: $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$, där $(x_0,y_0)$ är mittpunkten. Eftersom vi har mittpunkten i origo kan vi skriva det som $x^2+y^2=1^2$. Det finns dock en algebraisk lösning som inte involverar trigonometri. 

Vi vet att $x^2+y^2=1$, detta ger $(x+y)^2+(x-y)^2=2(x^2+y^2)=2$.

jag vet inte om jag har förstått det rätt men betyder det att största värdet är 2? 

Jag har koll på hur man hittar minimi- och maximipunkter men jag vet inte om det är de du syftar på med uttryckets maximum. 

Vi vet $x^2+y^2=1$ vilket ger oss $y=\sqrt{1-x^2}$. 
Vi vill maximera $(x+y)^2$, stoppar vi in i ekvationen får vi att $f(x)=(\sqrt{1-x^2}+x)^2$
du kan du använda dig av derivatan för att hitta då $f(x)$ är som störst, d v s när $f'(x)=0$.

jag vet inte om jag har förstått det rätt men betyder det att största värdet är 2? 

Ja, svaret är 2, prova $x=y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.

Derivata lär man sig i Ma3.

Är detta verkligen en Ma2-uppgift? Varifrån kommer den? /moderator

Jag vet att uppgiften inte är från Ma2, jag fick den av en kompis. 

Jag antar att cirkelns ekvation är samma sak som avståndsformeln och den har jag koll på. 

Nichrome skrev:

Jag antar att cirkelns ekvation är samma sak som avståndsformeln och den har jag koll på. 

Nja nästan, du kan tänka att cirkelns ekvation "kommer från" att avståndet från dess mittpunkt till vilken punkt som helst på cirkeln är konstant (radien på cirkeln). Så om $d$ är detta avstånd (med andra ord radien), så får du i det här fallet $1=\sqrt{\left(x-0\right)^2+\left(y-0\right)}=\sqrt{x^2+y^2}$. Problemet med det är att vi bara får halva cirkeln, men om vi nu kvadrerar så får vi $1^2=1=x^2+y^2$, dvs. hela cirkeln.

Jaha men jag förstår forfarande inte vad varför PANTENTERAMERA gjorde så här

${(x+y)}^2 +{(x-y)}^2$

Utveckla kvadraterna och förenkla! Vad blir kvar? :)

Smutstvätt skrev:

Utveckla kvadraterna och förenkla! Vad blir kvar? :)

Ja jag kanske har varit otydligt, men jag har inte problem med uträkningen utan metod. Jag förstår inte varför man gör så här, hur kommer vi ens fram till att vi ska göra så, vad är det vi får ut av den här uträkningen etc 

Smutstvätt har gett dig en lösning, jag har givit dig 3, Laguna 1 och PATENTERAMERA 1, förstår du någon av de? De flesta lösningarna bygger på att du har kunskaper i matte 3 och uppåt så det är kanske inte så konstigt att de kan verka lite mystiskt!

Nichrome skrev:

Jaha men jag förstår forfarande inte vad varför PANTENTERAMERA gjorde så här

${(x+y)}^2 +{(x-y)}^2$

Öh..., var gjorde jag detta? ”Extraordinary claims require extraordinary evidence.”

Dracaena skrev:

Vi vet att $x^2+y^2=1$, detta ger $(x+y)^2+(x-y)^2=2(x^2+y^2)=2$.

Här

Jag är lite förvirrad för att jag behöver bara den algebraiska lösningen. Jag förstår den till viss del men jag fattar inte hur och varför vi får svaret 2. 

Nichrome skrev:

Dracaena skrev:

Vi vet att $x^2+y^2=1$, detta ger $(x+y)^2+(x-y)^2=2(x^2+y^2)=2$.

Här

Jag är lite förvirrad för att jag behöver bara den algebraiska lösningen. Jag förstår den till viss del men jag fattar inte hur och varför vi får svaret 2. 

$(x+y)^2=2-(x-y)^2$
$2-(x-y)^2\le 2$
Likhet, d.v.s. uttrycket lika med 2, erhålls endast då den andra termen är 0, alltså då $x=y$. Lösningen kan då bestämmas av att:

$x^2+y^2=x^2+x^2=2x^2=1$
...

Det känns som om du hoppar över några steg och jag blir förvirrad, min fråga var varför vi lade till $(x-y)²$och var kommer hela det här uttrycket ifrån $(x+y)² + (x-y)²$

jag förstår att vi får x² + y² = 1

och när vi utvecklar (x+y)²  får vi x² + y² + 2xy och det är samma sak som 1 + 2xy 

därefter tappar jag bort mig

Vi utvecklar $(x+y)^2$ och vi får $1+2xy$, precis som du skriver. Det intressanta vi kan notera här är att $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2=1-2xy$. Det innebär att om vi lägger ihop $(x+y)^2$ och $(x-y)^2$ kommer 2xy-termerna att ta ut varandra. Då får vi kvar en tvåa: 

$$\begin{gathered} {\left(x+y\right)}^2+{\left(x-y\right)}^2= \\ \left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(x^2-2xy+y^2\right)= \\ 2x^2+2y^2+2xy-2xy= \\ 2x^2+2y^2=2 \end{gathered}$$

Vi ville ju beräkna det maximala värdet av $(x+y)^2$, så vi isolerar den termen ensam i ena ledet, och vi får $(x+y)^2=2-(x-y)^2$. 

Ett kvadrerat tal är alltid större än eller lika med noll. Eftersom vi subtraherar bort $(x-y)^2$ från tvåan, vill vi försöka minimera den termen, om vi ska maximera storleken av $(x+y)^2$. Vi minimerar $(x-y)^2$ genom att få den termen till noll, och det sker då $x=y$. 

Vi vet att $x^2+y^2=1$, och om $x=y$ får vi då ekvationen $x^2+x^2=1$, dvs. $2x^2=1$ eller att $x^2=0,5$. Vilka lösningar har den ekvationen? :)

Smutstvätt skrev:

Vilka lösningar har den ekvationen? :)

$x =\hspace{0.17em}\pm \sqrt{0.5}$

och då får jag sätta in den i ekvationen för att hitta y-värdet ...?

varför tar vi (x+y)² =  2 - (x-y)²  när vi vill hitta största möjliga värdet för (x+y)², jag förstår uträkningen men jag förstår inte metoden. 

Nichrome skrev:

Smutstvätt skrev:

Vilka lösningar har den ekvationen? :)

$x =\hspace{0.17em}\pm \sqrt{0.5}$

och då får jag sätta in den i ekvationen för att hitta y-värdet ...?

Helt rätt!

varför tar vi (x+y)² =  2 - (x-y)²  när vi vill hitta största möjliga värdet för (x+y)², jag förstår uträkningen men jag förstår inte metoden. 

Vi flyttar $(x-y)^2$ till HL. Vi började med, det förvisso inte helt självklara, uttrycket $(x+y)^2+(x-y)^2=2$, som vi får från att cirkelns ekvation är $x^2+y^2=1$. Vi vill manipulera detta uttryck så att det visar någonting vi kan arbeta med, så att vi till slut hamnar i ett maximalt värde av $(x+y)^2$. :)

jag syftade mest på hur vi får det maximala värdet från det här uttrycket 

(x+y)² = 2- (x-y)²

Jag försöker förstå hela lösningen, nu har jag en del lösta pusselbitar och jag förstår inte riktigt hur de hänger ihop. 

Aha, okej då tror jag att jag förstår! Det finns två byggstenar i den biten: 

• En kvadrat är alltid större än eller lika med noll (tänk på hur funktionen $f\left(x\right)=x^2$ har en minimipunkt i origo). 
• Eftersom vi subtraherar med ett uttryck som aldrig är negativt, maximerar vi HL genom att minimera uttrycket vi subtraherar med (kvadraten).

För att maximera HL vill vi därför minimera kvadratens värde:

${\left(x+y\right)}^2=2-\underset{\mathrm{minimeras}!}{\underbrace{ {\left(x-y\right)}^2}}$

Eftersom kvadraten aldrig blir mindre än noll, får vi satsa på att sätta värdet till noll, vilket vi åstadkommer när $x=y$. :)

Smutstvätt skrev:

Aha, okej då tror jag att jag förstår! Det finns två byggstenar i den biten: 

• En kvadrat är alltid större än eller lika med noll (tänk på hur funktionen $f\left(x\right)=x^2$ har en minimipunkt i origo). 
• Eftersom vi subtraherar med ett uttryck som aldrig är negativt, maximerar vi HL genom att minimera uttrycket vi subtraherar med (kvadraten).

För att maximera HL vill vi därför minimera kvadratens värde:

${\left(x+y\right)}^2=2-\underset{\mathrm{minimeras}!}{\underbrace{ {\left(x-y\right)}^2}}$

Eftersom kvadraten aldrig blir mindre än noll, får vi satsa på att sätta värdet till noll, vilket vi åstadkommer när $x=y$. :)

nu hänger jag med(lite i alla fall), så för att summera vi börjar med cirkelns ekvation och får x² + y² = 1 men vi skriver om det så här (x+y)² +(x-y)² , vi får sedan

2x² + 2y² = 2

Detta är ganska uppenbart för att vi vi har bara multiplicera både sidorna med 2 i den här ekvationen x² + y² = 1

jag vet inte om vi har bara gjort det här på två olika sätt, eller varför multiplicerade vi uttrycket med 2? Eller är det bara ett resultat från detta (x+y)² +(x-y)²?

Jag är också lite förvirrad, förstår inte riktigt hur vi fick det här uttrycket (x+y)² = 2-(x-y)²  och hur gick från 

2x² + 2y² = 2 till (x+y)² = 2-(x-y)²  

vad hände med 2x² och 2y²?

börjar med cirkelns ekvation och får x² + y² = 1 men vi skriver om det så här (x+y)² +(x-y)² , vi får sedan

Nästan! Vi börjar med cirkelns ekvation, och den förlänger vi med två, så att vi får $2x^2+2y^2=2$. Detta gör vi för att vi nu kan göra en riktig fuling (som ibland fungerar för att faktorierna krångliga uttryck): vi adderar en term, och subtraherar direkt bort den igen:

$2x^2+2y^2+2xy-2xy=2$

Detta förändrar inte uttryckets värde, eftersom termerna tar ut varandra! Men, nu kan vi dela upp termerna $2x^2$ respektive $2y^2$ i två delar vardera och möblera om i ekvationen, så att vi får:

$\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(x^2-2xy+y^2\right)=2$

Dessa parenteser kan vi dra ihop till två kvadrater, med hjälp av kvadreringsreglerna:

${\left(x+y\right)}^2+{\left(x-y\right)}^2=2$

Nu subtraherar vi $(x-y)^2$ från båda led, så att vi får det uttryck vi vill beräkna maxvärdet av, $(x+y)^2$ ensamt i ett led. 

vad hände med 2x² och 2y²?

De finns kvar, men de har smugits in i kvadraterna! Prova att utveckla ${\left(x+y\right)}^2+{\left(x-y\right)}^2$ och förenkla, så dyker de upp igen!

Denna lösning är väldigt speciell (och verkligen inte min, även om jag har snott till mig uppdraget att förklara den), men den innehåller också många bra knep att kunna ta till inom matematiken!

Åhh tack! 

Stämmer den här lösningen?

$$\begin{gathered} y² =\hspace{0.17em}1- {\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^2 \\ y =\hspace{0.17em}1/2 \\ Största värdet är då \\ {(x+y)}^2 =\hspace{0.17em}2{\left(\frac{1}{2}\right)}^2 + \frac{1}{2} \end{gathered}$$

Man borde väl inte räkna med -1/2? För att då får vi inte största värdet? 

Nästan! 

$$\begin{gathered} y^2=1-{\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)}^2 \\ {y}^2=\frac{1}{2} \\ y=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{gathered}$$

Men om du hittat värdet på x, vet vi ju direkt värdet på y, eftersom vi kommit fram till att $x=y$. :)

Jaha ja så största värdet borde vara  ${(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}})}^2 = \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{2}{2} = 2$

vi får väl samma sak med minus roten? 

Det stämmer bra!