största och minsta värdet
hejsan!
Jag ska bestämma största och minsta värdet som funktionen p=2x+y antar i det område som bestäms av systemet
2x+3y>12
x+3y>10
x>0
y>0
Detta ska vara inom en parantesliknande symbol.
Vanligtvis går dessa uppgifter lätt men förstår inte det med p=2x+y?
Med vänlig hälsning,
Försök att lägga till x på båda sidor i den senare olikheten (x+3y >10)
Jag illustrerade systemet i Desmos, och för mig ser det ut som om alla variabler kan gå mot oändligheten utan hinder.
Klarafardiga skrev :hejsan!
Jag ska bestämma största och minsta värdet som funktionen p=2x+y antar i det område som bestäms av systemet
2x+3y>12
x+3y>10
x>0
y>0
Detta ska vara inom en parantesliknande symbol.
Vanligtvis går dessa uppgifter lätt men förstår inte det med p=2x+y?
Med vänlig hälsning,
Är du säker på att det ska vara
2x + 3y > 12
x + 3y > 10 ?
Det borde vara < -tecken i de olikheterna.
Om det istället är mindre än-tecken så kommer de fyra olikheterna att begränsa ett område.
Målfunktionen p = 2x + y kommer då att anta sitt minsta och största värde i någon av områdets hörnpunkter.
Det är då bara att beräkna värdet i de fyra hörnen.
Området har tre hörn, ett på y-axeln, ett på x-axeln och ett däremellan. Minimum finns i någon av dessa tre punkter. Maximum finns inte.
Alla gånger jag har räknat har jag flyttat över så att y:et står ensamt i vänsterledet, behövs inte detta i program som Desmos och geogebra?
Ja, men förstår inte det med p=2x+y, vad det ska ge mig? Jag vet hur jag får fram värde men har aldrig kommit i kontakt med p=2x+y
Klarafardiga skrev :
Alla gånger jag har räknat har jag flyttat över så att y:et står ensamt i vänsterledet, behövs inte detta i program som Desmos och geogebra?
Ja, men förstår inte det med p=2x+y, vad det ska ge mig? Jag vet hur jag får fram värde men har aldrig kommit i kontakt med p=2x+y
För varje punkt (x, y) så har p ett bestämt värde.
Till exempel, i punkten (2, 3) har p värdet p = 2x + y = 2*2 + 3 = 7.
Det gäller alltså för dig att hitta den/de punkter (x, y) där p har sitt största respektive minsta värde, med begränsni gen att (x, y) måste uppfylla de fyra angivna olikheterna (området)
Jaha, för nu har jag ritat upp det! men det ser ut som att funktionen endast har ett minimipunkt på (2,3) och detta är enda punkten som är intressant? Och sen gör jag som Yngve gjorde och får p=7?
För detta måste samtidigt vara den största punkten i grafen?
Klarafardiga skrev :Jaha, för nu har jag ritat upp det! men det ser ut som att funktionen endast har ett minimipunkt på (2,3) och detta är enda punkten som är intressant? Och sen gör jag som Yngve gjorde och får p=7?
Nej, punkten (2, 3) är inte ett av områdets hörn, det var bara ett exempel jag drog till med för att visa vad målfunktionen p innebär och hur den beräknas.
Klarafardiga skrev :Jaha, för nu har jag ritat upp det! men det ser ut som att funktionen endast har ett minimipunkt på (2,3) och detta är enda punkten som är intressant? Och sen gör jag som Yngve gjorde och får p=7?
Hur ser ditt område ut?
Vilka hörnpunkter har du hittat?
Men nu förstår jag det med p=2x+y men när jag ska skriva in detta i t.ex. geogebra, måste y:et då stå ensamt eller kan jag skriva in det som Dunderklumpen har gjort i Desmos?
För när jag skriver in det i geogebra på samma sätt som Dunderklumpen så får jag fram punkten (2,3) ?
Klarafardiga skrev :För när jag skriver in det i geogebra på samma sätt som Dunderklumpen så får jag fram punkten (2,3) ?
Nej, hur får du fram den punkten? Läser du av i figuren?
Du bör ta som vana att alltid kontrollera dina delresultat.
Om du hade gjort det så skulle du upptäckt att punkten (2, 3) inte ligger på någon av begränsningslinjerna. Sätt in de värdena i linjernas ekvationer så ser du det
Nu förstår jag inte alls längre, denna bild är ju likadan som Dunderklumpens. Är det fel inskrivet eller tänker jag fel på vad som ska beräknas?
Klarafardiga skrev :Nu förstår jag inte alls längre, denna bild är ju likadan som Dunderklumpens. Är det fel inskrivet eller tänker jag fel på vad som ska beräknas?
Berätta hur du kommer fram till att skärningspunkten är (2, 3)
Jag skrev in värdet precis som dunderklumpen gjorde i geogebra och då såg jag att det precis som på bilden jag skickade fanns en punkt i (2,3).
Klarafardiga skrev :Jag skrev in värdet precis som dunderklumpen gjorde i geogebra och då såg jag att det precis som på bilden jag skickade fanns en punkt i (2,3).
Återigen, hur ser du att punkten ligger exakt i (2, 3) och inte i, till exempel, (2,1 ; 3,06) ?
Om man bara tittar på bilden, kan man tro att skärningspunkten mellan de sneda linjerna ligger i (2,3), men det stämmer inte.
Det finns ett hörn som ligger UNGEFÄR i (2,3), men inte riktigt. För att ta reda på var de båda diagonala linjerna korsar varandra, kan du lösa ett ekvationssystem.
Nu har jag zoomat in så jag kan se atomnivå :D kan det vara (1,99;267)?
Bra insikt
Då byter vi strategi.
Hörnet måste ligga där linjerna
2x + 3y = 12 och
x + 3y = 10 skär varandra.
Lös ekvationssystemet algebraiskt för att hitta skärningspunkten.
Återigen - du bör ta som vana att alltid kontrollera dina delresultat.
Om du via en grafisk metod tror dig ha hittat en lösning till ett ekvationssystem så bör du alltid kontrollera att lösningen stämmer genom att sätta in värdena i ekvationerna och verifiera att ekvationerna är uppfyllda. Då slipper du såna här onödiga fel.
Okejdå, nu tror jag att jag förstår! Då sätter jag in x-värder dvs. 1,99 och y-värdet i ekvationen vilket ger mig 11,99 och 10, vilket stämmer!
Och p=2x+y= 2*1,99+2,67=6,65
Och detta är det minsta värdet i grafen då största värdet saknas?
Klarafardiga skrev :Okejdå, nu tror jag att jag förstår! Då sätter jag in x-värder dvs. 1,99 och y-värdet i ekvationen vilket ger mig 11,99 och 10, vilket stämmer!
Och p=2x+y= 2*1,99+2,67=6,65
Och detta är det minsta värdet i grafen då största värdet saknas?
Nej du ska lösa ekvationssystemet algebraiskt, antiingen med hjälp av additionsmetoden eller med substitutionsmetoden. Kommer du ihåg dem?
Får inte alls ihop det. Jag förstår inte det här med algebraiskt? När jag har löst liknande uppgifter förr har jag bara fått över så att y står i VL och x i HL som y=kx+m. Och där med fått svaren från punkterna i grafen. Varför funkar inte detta nu?
Måste nog ta och vila för ikväll. Fortsätter imorgon! tack för hjälpen än så länge!
Klarafardiga skrev :Får inte alls ihop det. Jag förstår inte det här med algebraiskt? När jag har löst liknande uppgifter förr har jag bara fått över så att y står i VL och x i HL som y=kx+m. Och där med fått svaren från punkterna i grafen. Varför funkar inte detta nu?
Måste nog ta och vila för ikväll. Fortsätter imorgon! tack för hjälpen än så länge!
Du har troligtvis lärt dig hur man löser ett linjärt ekvationssystem algebraiskt (dvs genom att laborera med siffror och bokstäver) i Matte 2-kursen, men kanske glömt bort?
Klicka på länkarna Additionsmetoden och Substitutionsmetoden för att friska upp minnet.
I detta fallet går det lika bra med båda metoderna.
Substitutionsmetoden:
2x+3y = 12
x+3y = 10
Första ekvationen kan du skriva som
3y = 12 - 2x
Andra ekvationen kan du skriva som
3y = 10 - x
Om du nu byter ut (substituerar) 3y i den andra ekvationen mot det som 3y är lika med enligt den första ekvationen så får du:
12 - 2x = 10 - ×
Subtrahera 10 ftån båda sidor:
12 - 2x - 10 = 10 - × - 10
Förenkla:
2 - 2x = -x
Addera 2x till båda sidor:
2 - 2x + 2x = -x + 2x
Förenkla:
2 = x
Sätt in x = 2 i någon av de två ekvationerna så får du ut vad y är. Verifiera att dessa x- och y-värden stämmer även med den andra ekvationen.
Okejdå! Det gjorde det lite klarare! Men varför har jag inte använt detta när kan löst andra liknande uppgifter då har jag velat ha y:et ensam dvs 2x+3y>12 ---- y>4-0.66x
Du kan välja vad det är du vill ha ensamt - Yngve valde 3y för att det är lättast (eftersom 3y finns i båda ekvationerna). Men du skulle lika gärna kunna se till att få x ensamt i den andra ekvationen: x = 10 - 3y och sedan byta ut x i den första ekvationen: 2(10-3y)+3y=12 => 20-6y+3y = 12 => 20-12-3y+3y=12-12+3y => 8 = 3y - resten fixar du, och så sätter du in ditt y-värde i vilken som helst av ekvationerna för att få fram x.
Men jag menar för att få fram en y=kx+m, för när jag ser videos på liknande uppgifter så gör dom så.. Dvs att att jag bara satt in y≥4-0,66x, y≥3,33-0,33x, x≥0 och ≥ i geogebra och då fram en graf, därefter se var det minsta värdet är i grafen genom att sätta in de (x,y)-värde i ekvationen?
Men om jag sätter in x=2 som Yngve sa så blir det ju 2*2+3*2,66=12 och 2+3*2,66=10.
Men detta är ju exakt samma som jag fick fram innan i tråden?
Då löser du problemet grafiskt. Det är ofta en bra metod för att snabbt få fram en ungefärlig lösning, men ger för det medta inte en exakt lösning.
Visst, du kan alltid skriva om båda ekvationerna på formen y=kx+m och sedan lösa det algebraiskt - det kan ses som ett specialfall av substitutionsmetoden. Men om du vill lära dig matematik - till skillnad från räkning - så är det exakta svar som gäller, och det är viktigare att förstå vad det är man gör än att få fram rätt svar - och att förstå varför man gör som man gör för att få rätt svar.
Jaha, dåsa! Då är jag väldigt tacksam för att jag kan båda sätten nu, men det återstår dock vilket som är minsta värde (antar att det inte finns ett största värde)
Ta reda på områdets alla hörnpunkter.
I detta fallet är det endast tre punkter.
En av hörnpunkterna är där linjerna skär varandra, nämligen i punkten (2, 8/3).
Räkna ut målfunktionens värde i de tre hörnpunkterna. I detta fallet är det det minsta av dessa värden som du söker.
Det stämmer att det inte finns ett största värde.
Men då är det 2 punkter kvar. Då ska vi lösa detta. Har försökt med y=kx+m då jag fått fram y=-0,66x+4 och y-0,33x+3,33. Detta stämmer va? Den ena skär y-axeln i 4 har lutningen -0,66 och den andra skär y-axeln i 3,33 med lutningen -0,33
Eller finns det ett bättre sätt?
Din utmärkta geogebra-figur visar att de tre hörnen som begränsar ditt område är:
- skärningspunkten mellan linje a och y-axeln (områdets nedre vänstra hörn). Den har du hittat genom att sätta x = 0 i ekvationen för linje a
- skärningspunkten mellan linje b och x-axeln (områdets nedre högra hörn). Den hittar du genom att sätta y = 0 i iekvationen för linje b
- skärningspunkten mellan linje a och linje b (hörnet mellan de ovanstående). Den punkten, (2, 8/3), har du hittat genom att lösa ekvationssystemet.
Det är endast dessa tre punkter du behöver bry dig om.
Skärningspunkten mellan linje b och y-axeln ligger inte i området, så den behöver du inte beräkna.
Skärningspunkten mellan linje a och x-axeln ligger inte heller i området, så den kan du också skippa.
Jaha, ja! Men då ger detta punkterna (0,4) då 2*0+3*4=12 och sen (10,0) då 10+3*0=10.
Sätter jag sedan in alla värde i p=2x+y och ska få fram det minsta så måste punkten (0,4) ge minsta värdet då detta ger p=4
Klarafardiga skrev :Jaha, ja! Men då ger detta punkterna (0,4) då 2*0+3*4=12 och sen (10,0) då 10+3*0=10.
Sätter jag sedan in alla värde i p=2x+y och ska få fram det minsta så måste punkten (0,4) ge minsta värdet då detta ger p=4
Exakt.
Ditt svar blir alltså att det minsta värdet är p = 4, vilket fås i punkten (0, 4). Och att det inte finns något största värde eftersom området inte är begränsat och att p växer obegränsat då x och y växer.
Oh, förstår! Tack så hemskt mycket Yngve och ni andra! Ni är super!
