största och minsta värde till funktionen
Uppgift 3167 matte 3c 5000+
"Bestäm det största och minsta värde som funktionen f(x) = (1/x) + 4x^2 kan anta i intervallet -4<= x <= 4" (alltså x är större än eller lika med -4 men mindre än eller lika med 4).
Det jag börjar med är att beräkna funktionens värde då x är lika med 4 och -4 vilket ger f(-4) = -257/4 och f(4) = 257/4. Sen tänker jag att jag kan beräkna minimipunkten med hjälp av f'(x) = 0 (detta är en minimipunkt eftersom termen framför x^2 är positiv.
Jag förstår inte vad jag tänker fel, eller varför det inte går. I facit står det att det inte finns något största eller minsta värde??
f(x) är inte en andragradsfunktion eftersom den har en term som är 1/x.
Denna term ställer till det eftersom nämnaren kan gå godtyckligt nära 0.
Ta reda på vad som händer med funktionens värde då x närmar sig 0, dels från "vänster", dels från "höger".
Har du prövat att rita upp funktionens graf på din grafräknare eller annat digitalt hjälpmedel?
Okej. Jag ritade grafen, och när x närmar sig noll från höger respektive vänster så är grafen inte definierad eftersom ett bråk inte kan divideras med noll.
grafen ser ut såhär:
men jag förstår fortfarande inte, borde det inte finnas ett största värde då x = 4 och x = -4??
Nej, f(x) har ett ännu större värde då x är väldigt nära 0 på den "positiva" sidan eftersom kvoten 1/x då blir jättestor.
Exempel:
- f(0,01) = 1/0,01+4•0,012 = 100+0,0004 = 100,0004
- f(0,0001) = 1/0,0001+4•0,00012 = 10000+0,000001 = 10000,000001
- och så vidare.
Ju mer x närmar sig 0 "från höger", desto större blir f(x).
Vi säger att gränsvärdet då x går mot 0 (från den positiva sidan) är oändligheten.
=======
Undersök nu vad som händer då x närmar sig 0 "från vänster", dvs beräkna f(-0,01), f(-0,0001) o.s.v.
Vilken slutsats drar du av det?
Ja juste, såklart.
f(-0,01) = -100+0,004 = -99,996
f(-0,0001) = -10000 + 0,000004 = -9999,999996
alltså kommer f(x) bli mindre och mindre få x närmar sig 0 från vänster. Kan man säga att gränsvärdet går mot minus oändligheten?
Hur går jag vidare?
Exakt så.
Det enda som saknas nu är slutsatserna:
- Det finns inte någon övre begränsning på f(x). Funktionsvärdet f(x) kan bli hur stort som helst och f(x) saknar alltså ett största värde.
- Det finns inte heller någon undre begränsning på f(x). Funktionsvärdet f(x) kan bli hur litet som helst och f(x) saknar alltså ett minsta värde.
