Största och minsta värde i cirkelskiva x^2+y^2<=1
Hej!
Det verkar bli jätterörigt med polära koordinater i denna uppgift. Ska jag testa utan det? Jag tänker mig x=t och då blir y=+-sqrt(1-t^2). Men eftersom vi tar roten ur så tillkommer +- framför rotuttrycket. Ska vi ta den positiva eller negativa?
Jag löste den med denna parametrisering,men får ej samma svar som facit.
Du redovisar alldeles för lite för att det skall gå att följa med i hur du tänker. Är det stationära punkter inuti skivan du letar efter, eller undersäker du områdets rand?
Smaragdalena skrev:Du redovisar alldeles för lite för att det skall gå att följa med i hur du tänker. Är det stationära punkter inuti skivan du letar efter, eller undersäker du områdets rand?
Stationära punkter inuti skivan. Hur undersöker jag områdets rand? Jag försökte parametrisera med x=rcost och y=rsint men den metoden funkar ej alls för att lösa uppgiften. Jag får en jobbig uttryck enligt bilden ovan. Ska jag sätta r=1?
Om du skall undersöka områdets rand kan du sätta r = 1, eller utnyttja att . Jag har inte kollat vilket som verkar enklast i just det här fallet.
Smaragdalena skrev:Om du skall undersöka områdets rand kan du sätta r = 1, eller utnyttja att . Jag har inte kollat vilket som verkar enklast i just det här fallet.
Det funkade ej med y=+-sqrt(1+x^2) då jag satte x=t då facit fick att största värde är 9/4 medan jag fick det till 0. Får man fråga varför man gör på det andra sättet? Varför funkar ej x=t samt y=+-sqrt(1-t^2)?
Jag tycker cos(t) och sin(t) kunde vara lämpligt.
Trinity2 skrev:Jag tycker cos(t) och sin(t) kunde vara lämpligt.
Aa facit använde också det men jag förstår ej skälet. en annan sak de skriver ej x=rcost och y=rsint när de parametriserar utan de använder r=1. Varför gör de det?
Du har undersökt det "inre" området. Kvar återstår randen, den beskrivs av
x^2+y^2=1
Det är en enhetscirkel.
Den parameteriserar vi som
x(t) = cos(t)
y(t) = sin(t)
och ersätter x och y i funktionen
f
=x^2+2y^2-x
=x^2+y^2+y^2-x // x^2+y^2=1 på randen
=1+y^2-x
=1+sin(t)^2-cos(t)
=1+(1-cos(t)^2)-cos(t) // trig-ettan
=2-cos(t)^2-cos(t)
Nu kan man kasta sig över denna och derivera med avseende på t. Det är säkert så de gör i boken. Prova och återkom med dina räkningar, sedan kan jag lära ut ett knep om så önskas.
Trinity2 skrev:Du har undersökt det "inre" området. Kvar återstår randen, den beskrivs av
x^2+y^2=1
Det är en enhetscirkel.
Den parameteriserar vi som
x(t) = cos(t)
y(t) = sin(t)
och ersätter x och y i funktionen
f
=x^2+2y^2-x
=x^2+y^2+y^2-x // x^2+y^2=1 på randen
=1+y^2-x
=1+sin(t)^2-cos(t)
=1+(1-cos(t)^2)-cos(t) // trig-ettan
=2-cos(t)^2-cos(t)
Nu kan man kasta sig över denna och derivera med avseende på t. Det är säkert så de gör i boken. Prova och återkom med dina räkningar, sedan kan jag lära ut ett knep om så önskas.
Yes så gör de i facit. Men då ska jag undvika att parametrisera med x=rcost och y=rsint eftersom r=1 ligger på randen. Jag vet att vid dubbelintegraler brukar man skriva x=rcost och y=rsint och sen är randen i ett givet intervall
Ja, i det härfallet är r=1 eftersom det är ekvationen
x^2+y^2=1
HL är r^2 i den allmänna cirkelformen
x^2+y^2=r^2. = cirkel med radien r
Här har du alltså r=1
Hade området varit
x^2+y^2=4
hade du använt r=2 och haft
x=2cos(t)
y=2sin(t)
Trinity2 skrev:Ja, i det härfallet är r=1 eftersom det är ekvationen
x^2+y^2=1
HL är r^2 i den allmänna cirkelformen
x^2+y^2=r^2. = cirkel med radien r
Här har du alltså r=1
Hade området varit
x^2+y^2=4
hade du använt r=2 och haft
x=2cos(t)
y=2sin(t)
Ja men hur hade det varit om vi skulle haft x^2+y^2<1 ? Då kan man ju ej skriva x= cost och y=sint
Det området har ingen rand. Det har bara "ett inre" som du undersöker med stationära punkter.
Jämför med y=x på intervallet [0,1)
Vad är minsta och vad är största värde för y?
Trinity2 skrev:Det området har ingen rand. Det har bara "ett inre" som du undersöker med stationära punkter.
Jämför med y=x på intervallet [0,1)
Vad är minsta och vad är största värde för y?
Aa okej största saknas för 1 ingår ej. Minsta är 0
destiny99 skrev:Trinity2 skrev:Det området har ingen rand. Det har bara "ett inre" som du undersöker med stationära punkter.
Jämför med y=x på intervallet [0,1)
Vad är minsta och vad är största värde för y?
Aa okej största saknas för 1 ingår ej. Minsta är 0
Rätt. Det blir samma sak på ett öppet område som x^2+y^2<1, det är i 2 dimensioner istället för 1.
Sedan kan det finnas ett max i området, det beror på f, men randen ingår ej iaf.
Antag nu att det finns en topp (max) i det inre. Då kan man fråga sig "Om vi inte randen är med, vad händer nära randen? Kan det vara så att f överstiger max nära randen?"
Vad man gör i dessa fall är att man skriver
x=r cos(t)
y=r sin(t)
och så undersöker man hur f beter sig när r->1 i olika riktningar t. Kanske det kommer en sådan uppgift längre fram i din bok.
Trinity2 skrev:destiny99 skrev:Trinity2 skrev:Det området har ingen rand. Det har bara "ett inre" som du undersöker med stationära punkter.
Jämför med y=x på intervallet [0,1)
Vad är minsta och vad är största värde för y?
Aa okej största saknas för 1 ingår ej. Minsta är 0
Rätt. Det blir samma sak på ett öppet område som x^2+y^2<1, det är i 2 dimensioner istället för 1.
Sedan kan det finnas ett max i området, det beror på f, men randen ingår ej iaf.
Antag nu att det finns en topp (max) i det inre. Då kan man fråga sig "Om vi inte randen är med, vad händer nära randen? Kan det vara så att f överstiger max nära randen?"
Vad man gör i dessa fall är att man skriver
x=r cos(t)
y=r sin(t)
och så undersöker man hur f beter sig när r->1 i olika riktningar t. Kanske det kommer en sådan uppgift längre fram i din bok.
Aa jag har ej stött på en sån uppgift eller sett i pdf än. Jag ville bara veta hur man ska tänka i en sån situation