största och minsta värde för f(x)

Undersök om funktionen $f (x) = \frac{1}{5 - \cos x}$ har något största och minsta värde.

Med kvotregeln får jag $f' (x) = \frac{- 5 \sin x}{{(1 - \cos x)}^{2}}$

Funktionen är ej definierad då $1 - \cos x = 0 \Rightarrow x = 0 + n 2 π$

Extrempunkter:

$f' (x) = 0 \Rightarrow - 5 \sin x = 0 \sin x = 0 x = 0 + n 2 π x = π + n 2 π$

Eftersom n kan vara vilka heltal som helst så finns det oändligt många extrempunkter. Ska man ändå undersöka deras karaktär med teckentabell?

Ska det vara 5 eller 1 i kvoten?

Din derivata stämmer inte, nen du behöver inte heller använda derivata för att lösa uppgiften.

Du vet att cos(x) varierar mellan -1 och 1.

Nämnaren i f(x) varierar därför mellan 4 och 6.

Det betyder i sin tur att f(x) endast kommer att anta värden mellan 1/6 och 1/4.

Kan du besvara frågan då?

största värdet är 1/4 och minsta är 1/6?

Ja det stämmer.

det är väldigt logiskt och det var också så som jag tänkte i uppgiften från början, men i facit skriver dem "Minsta värdet är 2,5. Största värde saknas, y växer obegränsat då cos(x) närmar sig 1"

Då har du antingen skrivit av uppgiften fel eller så står det fel i facit.

my bad, jag har skrivit av uppgiften fel. Funktionen är $f (x) = \frac{5}{1 - \cos x}$

Precis som du sa innan så kan cos(x) som minst vara -1 och som störst 1. Om vi sätter -1 så blir kvoten $\frac{5}{1 - (- 1)} = 2, 5$ som blir det minsta värdet. Om man sätter 1 så får vi nolldivision, hur ska man tänka då?

När cos(x) närmar sig 1 så närmar sig nämnaren värdet 0 och då växer kvoten obegränsat.

Det finns alltså ingen övre gräns för hur stort f(x) kan vara.

Använd gärna något digitalt hjälpmedel (grafräknare, Desmos mm) för att plotta grafen till y = 5/(1-cos(x)) så ser du vad som händer.

Svara

Visa senaste svar