Största och minsta värde av cirkel
Har funktionen ln(x^2+y^2)-x-y och ska beräkna största och minsta värdet i området där x^2+y^2 är större eller lika med 1/4 men mindre eller eller lika med 8. Det blir alltså en cirkel med ett hål i.
- deriverar funktionen med avseende på x och y sätter respektive mot 0 för att finna stationär punkt.
Sedan vet jag inte hur jag ska göra riktigt. Ska jag sätta in:
x=rcos(t)
y=rsin(t)
x^2+y^2=r^2
där r aningen är 1/2 eller 2sqrt(2)? Och sedan derivera igen för varje fall? Tacksam för hjälp!
Välkommen till Plugakuten!
Standardfråga 1a: Har du ritat (det verkar så, med tanke på att du skriver "en cirkel med hål i")?
Du har tre fall att undersöka: extremvärdet ligger på den inre cirkelranden, extremvärdet ligger på den yttre cirkelranden eller extremvärdet ligger i det inre av cirkelringen.Vilket av fallen är det du undersöker?
Vad fick du för derivator när du deriverade med avseende på x och y, och vad fick du för värden när du sate derivatorna lika med 0?
Eftersom omrädet har formen "en cirkel med hål i" skulle jag gå över till polära koordinater innan jag deriverar. Då blir r konstant i två av fallen, så då beror derivatan endast på t.
EDIT: Missade AlvinB:s punkt 2.
När man undersöker extremvärden till flervariabelfunktioner brukar jag gå efter följande checklista:
- Undersök kritiska punkter (där de partiella derivatorna är noll)
- Undersök punkter där de partiella derivatorna är odefinierade
- Undersök randen (kanten till området)
Visa hur det går när du försöker följa dessa steg.
