största och minsta värde (Matematik/Universitet)

be5612 skrev:
bestäm största och minsta värdet för funktionen
$f (x, y) = \ln (1 + x^{2} + y^{2}) - x$
på den cirkelskiva som ges av $x^{2} + y^{2} \leq 4$
hur ska jag börjar med uppgiften?

På samma sätt som om det vore ett envariabel-problem, typ "Bestäm största och minsta värde för $f(x)=x^2-2x$ i intervallet $-1\leq x\leq 3$ ", dvs

Börja med att leta efter stationära punkter i området.
Leta sedan efter högsta och minsta värdet på randen.

Yngve skrev:
be5612 skrev:
bestäm största och minsta värdet för funktionen
$f (x, y) = \ln (1 + x^{2} + y^{2}) - x$
på den cirkelskiva som ges av $x^{2} + y^{2} \leq 4$
hur ska jag börjar med uppgiften?
Börja med att leta efter stationära punkter i området.
Leta efter högsta om minsta värdet på randen.

vad menar du med randen?

be5612 skrev:
Yngve skrev:
be5612 skrev:
bestäm största och minsta värdet för funktionen
$f (x, y) = \ln (1 + x^{2} + y^{2}) - x$
på den cirkelskiva som ges av $x^{2} + y^{2} \leq 4$
hur ska jag börjar med uppgiften?
Börja med att leta efter stationära punkter i området.
Leta efter högsta om minsta värdet på randen.
vad menar du med randen?

Längs med cirkeln som är $x^2+y^2=4$ . Vad en rand är bör du veta vid detta lag.

woozah skrev:
be5612 skrev:
Yngve skrev:
be5612 skrev:
bestäm största och minsta värdet för funktionen
$f (x, y) = \ln (1 + x^{2} + y^{2}) - x$
på den cirkelskiva som ges av $x^{2} + y^{2} \leq 4$
hur ska jag börjar med uppgiften?
Börja med att leta efter stationära punkter i området.
Leta efter högsta om minsta värdet på randen.
vad menar du med randen?

Längs med cirkeln som är $x^2+y^2=4$ . Vad en rand är bör du veta vid detta lag.

det jag inte förstår är "på den cirkelskiva som ges av x^2+y^2=4

be5612 skrev:

det jag inte förstår är "på den cirkelskiva som ges av x^2+y^2=4

Så står det inte.

Det står $x^2+y^2\leq4$ ,

Är du med på att $x^2+y^2=4$ är en cirkel med medelpunkt i origo och radie 2?

Olikheten ovan betecknar alla punkter som ligger på och innanför denna cirkel, dvs en cirkelskiva.

Rita gärna.

okej så eftersom randkurvan är enhetscirkeln kan vi sätta x=cos t och y=sin t

då får vi funktionen $h (t) = f (\cos t, \sin t) = \ln (1 + \cos^{2} t + \sin^{2} t) - \cos t = \ln (2) - \cos t$

när t varierar så kommer funktionen h(t) att anta precis samma värden som funktion f(x,y) antar på randen. om speciellt $f$ antar ett största eller minsta värde på randen i punkten ( $x_{0}, y_{0})$ så kommer även h(t) att anta sitt största respektive minsta värde för det argument $t_{0}$ som har egenskapen att $(x_{0}, y_{0}) = (\cos t_{0}, \sin t_{0}) .$

och eftersom $h$ är deriverbar så måste alltså gälla att $h ´ (t_{0})$ . eftersom $h ´ (t) = \sin t$ följer att $\sin t_{0} = 0$ vilket ger att $\tan t_{0} = - 1$ dvs $t_{0} = \frac{- π}{4} + πk$ . jag måste sätta nu värden i fuktionen h(t) för att få störtsa och minsta värden på randen och jag vet inte vilka värden jag ska sätta in

På randen är

$x^2 + y^2 = 4$

Du har räknat med

$x^2 + y^2 = 1$

Frågan är om det inte är enklare att räkna utan polära koordinater.

Dr. G skrev:
På randen är
$x^2 + y^2 = 4$
Du har räknat med
$x^2 + y^2 = 1$
Frågan är om det inte är enklare att räkna utan polära koordinater.

att räkna med $x^{2} + y^{2} \leq 4$ kommer väl senare eller? alltså när man ska börja undersöka vad som händer i det inte området?

På randen är

$x^2 + y^2 = 4$

För inre punkter är

$x^2 + y^2 < 4$

Du verkar till en början fokusera på randpunkter, så då gjorde jag också det.

Det blev fel när du valde dina koordinater. När du gick ifrån (x,y) till (r,θ).

Edit: x=cos(θ) och y=sin(x) ger en cirkel med radie ett. Centrerad i origo.

Egocarpo skrev:
Det blev fel när du valde dina koordinater. När du gick ifrån (x,y) till (r,θ).

Edit: x=cos(θ) och y=sin(x) ger en cirkel med radie ett. Centrerad i origo.

Hur rättar jag till det så det blir 4?

Dr. G skrev:
På randen är
$x^2 + y^2 = 4$
För inre punkter är
$x^2 + y^2 < 4$
Du verkar till en början fokusera på randpunkter, så då gjorde jag också det.

Det fanns ett exempel i boken som jag kollade på där de först tittar på randen sedan inre området. Det är kanske därför det blev blev fel med x^2 +y^2 .jar du några tips på hur jag ska göra för att det ska blir rätt?

Du behöver undersöka både randen och det inre. Vilket du gör först är en smaksak.

Det du behöver ändra är att sätta in rätt värde på r när du gör om det till polära koordinater.

be5612 skrev:
Egocarpo skrev:
Det blev fel när du valde dina koordinater. När du gick ifrån (x,y) till (r,θ).

Edit: x=cos(θ) och y=sin(x) ger en cirkel med radie ett. Centrerad i origo.
Hur rättar jag till det så det blir 4?

Sätter in r²=4 i stället för 1, d v s att r=2.

Smaragdalena skrev:
be5612 skrev:
Egocarpo skrev:
Det blev fel när du valde dina koordinater. När du gick ifrån (x,y) till (r,θ).

Edit: x=cos(θ) och y=sin(x) ger en cirkel med radie ett. Centrerad i origo.
Hur rättar jag till det så det blir 4?
Sätter in r²=4 i stället för 1, d v s att r=2.

jag förstår inte riktigt. ska jag sätta x=cos(r) och y =sin(x)

$x = 2 \cos t y = 2 \sin t$

blir det så? om det är rätt ska jag bara ersätta $f (\cos t, \sin t) m e d f (2 \cos t, 2 \sin t)$ och räkna som jag gjorde förut?

blir $t_{0} = \frac{- π}{4} + k π$ eller förändras den också?

Du skriver rörigt. Skriv allt som behövs i nästa inlägg, så att vi slipper hoppa runt och leta efter vad det är du undrar om.

be5612 skrev:
...eftersom $h ´ (t) = \sin t$ följer att $\sin t_{0} = 0$ vilket ger att $\tan t_{0} = - 1$ dvs $t_{0} = \frac{- π}{4} + πk$ .

(Ovanstående stämmer inte.)

Eftersom

$f(x,y) = \ln(1+x^2+y^2) -x$

och randen ges av

$x^2+y^2 =4$

så är funktionen på randen

$f(x,y) = \ln(1+4) -x$

Vilka (tillåtna) värden på x ger då max och min?

för att bestämma största och minsta värdet som funktionen antar på randen gör jag

$h (t) = f (2 \cos t, 2 \sin t) = \ln (1 + 2 \cos^{2} t + 2 \sin^{2} t) - 2 \cos t = \ln (3) - 2 \cos t$

när t varierar så kommer funktionen h(t) att anta precis samma värden som funktion f(x,y) antar på randen. om speciellt $f$ antar ett största eller minsta värde på randen i punkten $(x_{0}, y_{0})$ så kommer även h(t) att anta sitt största respektive minsta värde för det argument $t_{0}$ som har egenskapen att $(x_{0}, y_{0}) = (\cos t_{0}, \sin t_{0})$ . och eftersom $h$ är deriverbar så måste alltså gälla att $h ´ (t) = 0$ . eftersom $h ´ (t) = 2 \sin t$ följer att sin $2 \sin t_{0} = 0$ vilket ger att $\tan t_{0} = 0$ det vill säga $t_{0} = π + 2 πk$ . stämmer detta?

be5612 skrev:
för att bestämma största och minsta värdet som funktionen antar på randen gör jag
$h (t) = f (2 \cos t, 2 \sin t) = \ln (1 + 2 \cos^{2} t + 2 \sin^{2} t) - 2 \cos t = \ln (3) - 2 \cos t$
när t varierar så kommer funktionen h(t) att anta precis samma värden som funktion f(x,y) antar på randen. om speciellt $f$ antar ett största eller minsta värde på randen i punkten $(x_{0}, y_{0})$ så kommer även h(t) att anta sitt största respektive minsta värde för det argument $t_{0}$ som har egenskapen att $(x_{0}, y_{0}) = (\cos t_{0}, \sin t_{0})$ . och eftersom $h$ är deriverbar så måste alltså gälla att $h ´ (t) = 0$ . eftersom $h ´ (t) = 2 \sin t$ följer att sin $2 \sin t_{0} = 0$ vilket ger att $\tan t_{0} = 0$ det vill säga $t_{0} = π + 2 πk$ . stämmer detta?

Nej, du missar att även 2 skall kvadreras. Se Dr.G:s inlägg ovan.

Dr. G skrev:
be5612 skrev:
...eftersom $h ´ (t) = \sin t$ följer att $\sin t_{0} = 0$ vilket ger att $\tan t_{0} = - 1$ dvs $t_{0} = \frac{- π}{4} + πk$ .
(Ovanstående stämmer inte.)
Eftersom
$f(x,y) = \ln(1+x^2+y^2) -x$
och randen ges av
$x^2+y^2 =4$
så är funktionen på randen
$f(x,y) = \ln(1+4) -x$
Vilka (tillåtna) värden på x ger då max och min?

jag försöker hitta kritiska punkter men det finns inte det betyder att finns inga min/max punkter. tänker jag fel nu?

be5612 skrev:

jag försöker hitta kritiska punkter men det finns inte det betyder att finns inga min/max punkter. tänker jag fel nu?

Jodå, det finns både ett största och ett minsta värde på randen.

Var du med på att funktionsuttrycket på randen lyder f(x,y) = ln(1+4) - x = ln(5) - x ?

Vilket (tillåtet) värde på x ger f(x,y)

ett så lågt värde som möjligt på randen?
ett så högt värde som möjligt på randen?

Yngve skrev:
be5612 skrev:
jag försöker hitta kritiska punkter men det finns inte det betyder att finns inga min/max punkter. tänker jag fel nu?
Jodå, det finns både ett största och ett minsta värde på randen.
Var du med på att funktionsuttrycket på randen lyder f(x,y) = ln(1+4) - x = ln(5) - x ?
Vilket (tillåtet) värde på x ger f(x,y)
ett så lågt värde som möjligt på randen?
ett så högt värde som möjligt på randen?

är $\ln (5) - x$ samma som $\ln (5) - 4 \cos x$ ?

be5612 skrev:
Yngve skrev:
be5612 skrev:
jag försöker hitta kritiska punkter men det finns inte det betyder att finns inga min/max punkter. tänker jag fel nu?
Jodå, det finns både ett största och ett minsta värde på randen.
Var du med på att funktionsuttrycket på randen lyder f(x,y) = ln(1+4) - x = ln(5) - x ?
Vilket (tillåtet) värde på x ger f(x,y)
ett så lågt värde som möjligt på randen?
ett så högt värde som möjligt på randen?
är $\ln (5) - x$ samma som $\ln (5) - 4 \cos x$ ?

Naturligtvis inte. Varför skulle x vara samma sak som 4cosx?

Edit: du tänker kanske på parametriseringen x = 2cost. Den kan du använda om du vill, men det är nog enklare att behålla x.

Laguna skrev:
be5612 skrev:
Yngve skrev:
be5612 skrev:
jag försöker hitta kritiska punkter men det finns inte det betyder att finns inga min/max punkter. tänker jag fel nu?
Jodå, det finns både ett största och ett minsta värde på randen.
Var du med på att funktionsuttrycket på randen lyder f(x,y) = ln(1+4) - x = ln(5) - x ?
Vilket (tillåtet) värde på x ger f(x,y)
ett så lågt värde som möjligt på randen?
ett så högt värde som möjligt på randen?
är $\ln (5) - x$ samma som $\ln (5) - 4 \cos x$ ?
Naturligtvis inte. Varför skulle x vara samma sak som 4cosx?

jag tänker att $x = 4 \cos t y = 4 \sin t$

om man sätter in dessa värden i funktionen får man $\ln (1 + 4 \cos^{2} t + 4 \sin^{2} t) - 4 \cos t$ $= \ln (5) - 4 \cos t$

be5612 skrev:

jag tänker att $x = 4 \cos t y = 4 \sin t$

om man sätter in dessa värden i funktionen får man $\ln (1 + 4 \cos^{2} t + 4 \sin^{2} t) - 4 \cos t$ $= \ln (5) - 4 \cos t$

EDIT korrigerat

Ja, så kan du göra om du vill, fast det gäller att $x=2\cos(t)$ , inte $4\cos(t)$ .

Ja så kan du göra om du vill.

Vilka värden kan då $t$ och därmed $\cos(t)$ anta?

Och framför allt, vilket är då det minsta och det största värdet som $\cos(t)$ kan anta?

Och slutligen, vilket är därmed då det minsta och det största värdet som f(x,y) funktionen kan anta (på randen)?

min $(2 π, \ln 5 - 4 \cos (2 π))$

max $(3 π, 4 \cos (2 π) + \ln 5)$ ?

be5612 skrev:
min $(2 π, \ln 5 - 4 \cos (2 π))$
max $(3 π, 4 \cos (2 π) + \ln 5)$ ?

Det här kan du förenkla.

Det börjar bli rörigt i tråden.

Om du vill använda polära koordinater på randen så är

x = 2*cos(t)

y = 2*sin(t)

be5612 skrev:
för att bestämma största och minsta värdet som funktionen antar på randen gör jag
$h (t) = f (2 \cos t, 2 \sin t) = \ln (1 + 2 \cos^{2} t + 2 \sin^{2} t) - 2 \cos t = \ln (3) - 2 \cos t$
när t varierar så kommer funktionen h(t) att anta precis samma värden som funktion f(x,y) antar på randen. om speciellt $f$ antar ett största eller minsta värde på randen i punkten $(x_{0}, y_{0})$ så kommer även h(t) att anta sitt största respektive minsta värde för det argument $t_{0}$ som har egenskapen att $(x_{0}, y_{0}) = (\cos t_{0}, \sin t_{0})$ . och eftersom $h$ är deriverbar så måste alltså gälla att $h ´ (t) = 0$ . eftersom $h ´ (t) = 2 \sin t$ följer att sin $2 \sin t_{0} = 0$ vilket ger att $\tan t_{0} = 0$ det vill säga $t_{0} = π + 2 πk$ . stämmer detta?

det var ju det jag gjorde här. men folk sa att det var fel?

be5612 skrev:
be5612 skrev:
för att bestämma största och minsta värdet som funktionen antar på randen gör jag
$h (t) = f (2 \cos t, 2 \sin t) = \ln (1 + 2 \cos^{2} t + 2 \sin^{2} t) - 2 \cos t = \ln (3) - 2 \cos t$
när t varierar så kommer funktionen h(t) att anta precis samma värden som funktion f(x,y) antar på randen. om speciellt $f$ antar ett största eller minsta värde på randen i punkten $(x_{0}, y_{0})$ så kommer även h(t) att anta sitt största respektive minsta värde för det argument $t_{0}$ som har egenskapen att $(x_{0}, y_{0}) = (\cos t_{0}, \sin t_{0})$ . och eftersom $h$ är deriverbar så måste alltså gälla att $h ´ (t) = 0$ . eftersom $h ´ (t) = 2 \sin t$ följer att sin $2 \sin t_{0} = 0$ vilket ger att $\tan t_{0} = 0$ det vill säga $t_{0} = π + 2 πk$ . stämmer detta?
det var ju det jag gjorde här. men folk sa att det var fel?

Tanken är rätt, men det är många små konstigheter. Du fick veta att du hade glömt kvadrera 2, så det blir ln(5), inte ln(3).

Att sätta sin(t) = 0 är rätt, men vad är sin 2sint₀ för något? Hur får du tangens ur detta? Det är visserligen sant att tan(t) = 0, och att det gäller för t = pi, men vart tog lösningen t = 0 vägen?

Och vad leder nu detta till för värden på x och y och f?

be5612 skrev:
be5612 skrev:
för att bestämma största och minsta värdet som funktionen antar på randen gör jag
$h (t) = f (2 \cos t, 2 \sin t) = \ln (1 + 2 \cos^{2} t + 2 \sin^{2} t) - 2 \cos t = \ln (3) - 2 \cos t$
när t varierar så kommer funktionen h(t) att anta precis samma värden som funktion f(x,y) antar på randen. om speciellt $f$ antar ett största eller minsta värde på randen i punkten $(x_{0}, y_{0})$ så kommer även h(t) att anta sitt största respektive minsta värde för det argument $t_{0}$ som har egenskapen att $(x_{0}, y_{0}) = (\cos t_{0}, \sin t_{0})$ . och eftersom $h$ är deriverbar så måste alltså gälla att $h ´ (t) = 0$ . eftersom $h ´ (t) = 2 \sin t$ följer att sin $2 \sin t_{0} = 0$ vilket ger att $\tan t_{0} = 0$ det vill säga $t_{0} = π + 2 πk$ . stämmer detta?
det var ju det jag gjorde här. men folk sa att det var fel?

Vad var det du gjorde? Om du menar det som svar på min kommentar att du borde ha kvadrerat 2 så kan jag berätta att 2²=4, så

1+4cos²t+4sin²t=1+4(cos²t+sin²t)=1+4^.1=5.

Dr. G skrev:
Det börjar bli rörigt i tråden.
Om du vill använda polära koordinater på randen så är
x = 2*cos(t)
y = 2*sin(t)

Ja det missade jag att påpeka.

Har redigerat mitt senaste svar.

be5612, är du nöjd med hjälpen eller tröttnade du?

Laguna skrev:
be5612, är du nöjd med hjälpen eller tröttnade du?

Jag är nöjd :) tack så mycket. Jag skrev det jag kunde sen får jag återkomma när jag får feedback 😊