största möjliga area av rektangel i graf, teckenschema?

Hej!
"En rektangel placeras med ett hörn i origo och så att två av dess sidor ligger på den positiva x-axeln och den negativa y-axeln. Dessutom finns det ett hörn på kurvan y = ln x. Bestäm x-koordinaten för den punkt som ger den största möjliga arean hos rektangeln samt bestäm den maximala arean."

Rektangelns area beräknas:
A= $= b r e d d \cdot l ä n g d = x \cdot y$

I detta fall ligger längden längs den negativa y-axeln, då skrev jag om arean så här -->
A= $x \cdot (- y) = x \cdot (- \ln x) = - x \cdot \ln x$
Nu letar jag efter en extrempunkt, areafunktionen deriveras och sätts =0.
$A = - x \cdot \ln x A' = - 1 \cdot \ln x + - x \cdot \frac{1}{x} = - 1 \cdot \ln x - 1 = - 1 - \ln x (k e d j e r e g e \ln) - 1 - \ln x = 0 - 1 = \ln x e^{- 1} = x = - 1$
Nu vet jag sida x. För att få reda på sida y, vilket också blir rektangelns area, gör jag så här:
$A (e^{- 1}) = - e^{- 1} \cdot \ln e^{- 1} = - \frac{1}{e} \cdot (- 1) = \frac{1}{e}$
Nu till frågan: Hur gör jag teckenschema på bästa sätt för att få reda på egenskaperna för extrempunkten x=-1? Jag har testat med andraderivata men svaret blir inte reellt.

Standardfråga 1a: Har du ritat?

x=-1 är inte en extrempunkt, det är därför du får konstiga resultat.

Du skriver långt ner att e^-1=x=-1 men det sista likhetstecknet är inte sant. Du borde få att $x=\frac{1}{e}$ . Hur fungerar det om du sätter in detta x-värde istället i andraderivatan?

Ja, jag ritade upp ett koordinatsystem med en ungefärlig skiss av kurvan y=lnx och rektangeln. Så här:

Du har rätt, e^-1 är ju inte -1... Jag kollade på lösningsexempel för uppgiften och försökte sätta in värdet i min uträkning, men det blev fel. Vad betyder \frc1e?

Jag menade att skriva \frac{1}{e} mellan dubbla dollartecken, så att det blir $\frac{1}{e}$ men hade tappat bokstaven a, och då blir det så fult.

Om du visar hur du har satt in värdena i din uträkning istället för att bara skriva ATT du har gjort det och att det har blivit fel, kan vi hjälpa dig att hitta var det har gått fel. Vi som svarar här är bra på matte, men vi är usla tankeläsare.

Jag vet dessvärre inte vad frac är, vi har inte gått igenom något sånt i kursen. Finns det någonstans jag kan läsa på om det? Typ på wikipedia eller mattecentrum?

Jag deriverade derivatan för areafunktionen och satte in x=-1, vilket blev fel som du kan se nedan:
$A' = - 1 - \ln x A'' = - \frac{1}{x} A'' (- 1) = - \frac{1}{(- 1)} = 1 \leftarrow p o s . v ä r d e = m i n i m i, d v s v i f å r e n m i n i m a l a r e a$

Jag testar att sätta in x= $e^{- 1}$ , vilket ser ut att vara mer sannolikt:
$A'' (e^{- 1}) = - \frac{1}{e^{- 1}} = - 2.7182 . . . \leftarrow n e g . v ä r d e = m a x i m i, d v s v i f å r m a x i m a l a r e a$

Är jag på rätt spår?

frac är inte matematik, utan en funktion i LaTex för att skriva matematiska formler. Det skulle ha blivit ett vanlig bråk.

Laguna skrev:
frac är inte matematik, utan en funktion i LaTex för att skriva matematiska formler. Det skulle ha blivit ett vanlig bråk.

Okej, tack för svara ang. frac!

Det du gör med x = e^-1 är rätt.

Laguna skrev:
Det du gör med x = e^-1 är rätt.

Menar du där jag sätter in e^-1 i andraderivatan och får ett negativt värde som bekräftar maximipunkt?

wajv19 skrev:
Laguna skrev:
Det du gör med x = e^-1 är rätt.
Menar du där jag sätter in e^-1 i andraderivatan och får ett negativt värde som bekräftar maximipunkt?

Mm.

Tack för hjälpen!

Svara

Visa senaste svar