Största möjliga area av rektangel

Välkommen till Pluggakuten! Om du räknat rätt är svårt att veta utan att veta utan att se din uträkning, men svaret stämmer, ja. :)

Hej!

Får samma svar om det är en likbent triangeln.

Hur var det man gjorde då? Jag klurade länge med denna men lyckades inte bevisa algebraiskt att 15,75, även om jag spekulerade om att detta skulle vara svaret. 

Om höjden är 7 cm och basen är 9 cm, innebär det att kanten AB ligger längs en linje med lutningen $\pm\frac{14}{9}$. Jag valde att lägga triangeln så att mitten av triangeln ligger på y-axeln: 

Eftersom triangeln är 7 cm hög, kan vi ta fram ekvationen för linjen i första kvadranten som kanten ligger längs. Linjen har lutningen $-\frac{7}{9}$, och eftersom basen är 9 cm, ska linjen skära x-axeln i punkten $(4,5\;;\;0)$. Allt detta ger oss linjen $y=-\frac{14}{9}x+7$.

Så, halva rektangelns bredd är x, och höjden av rektangeln är y (eftersom den alltid ligger på linjen). Detta ger arean $A=xy$, och om vi sätter in ovanstående uttryck för y, får vi $A=x\left(-\frac{14}{9}x+7\right)=-\frac{14}{9}{x}^2+7x$. Denna funktion kan maximeras för att få $x_{max}=2,25$, med maxarean $A=-\frac{14}{9}·2,{25}^2+7·2,25=-7,875+15,75=7,875 {\mathrm{cm}}^2$.

Eftersom detta var halva arean, är hela arean $2·7,875=15,75 {\mathrm{cm}}^2$. :)

Om triangeln är rätvinklig kommer hypotenusan att vara linjen $y=7-\frac{7}{9}x$ om man placerar den räta vinkeln i origo, och en rektangel kommer att ha ett hörn i origo och ett hörn på linjen, alltså med koordinaterna (x,7-7x/9). Arean av rektangeln blir A(x) = x(7-7x/9) som är en andragradsfunktion. Arean är 0 om x = 0 eller om parentesen är 0, d v s om x = 9. Maximivärdet för en andragradsfunktion ligger på symmetrilinjen, d v s mittemellan nollställena. Om jag stoppar in x = 4,5 i A(x) får jag 15,75. Så ditt värde stämmer i den trianglen också.

Stod det något i uppgiften om likbent eller rätvinklig?

Smaragdalena skrev:

Om triangeln är rätvinklig kommer hypotenusan att vara linjen $y=7-\frac{7}{9}x$ om man placerar den räta vinkeln i origo, och en rektangel kommer att ha ett hörn i origo och ett hörn på linjen, alltså med koordinaterna (x,7-7x/9). Arean av rektangeln blir A(x) = x(7-7x/9) som är en andragradsfunktion. Arean är 0 om x = 0 eller om parentesen är 0, d v s om x = 9. Maximivärdet för en andragradsfunktion ligger på symmetrilinjen, d v s mittemellan nollställena. Om jag stoppar in x = 4,5 i A(x) får jag 15,75. Så ditt värde stämmer i den trianglen också.

Stod det något i uppgiften om likbent eller rätvinklig?

Nej, man fick endast informationen att det var en triangel med höjden 7 och basen 9. Åtminstone i provet jag skrev häromdagen. 

Den största rektangeln verkar alltid ha sin höjd på halva triangelns höjd, och får en area som är halva triangelns. Det var en del algebra, men det kanske finns något väldigt enkelt sätt att se det.