Största möjliga area

z är en funktion av två variabler (x och y) så du kan skriva det som

z = f(x, y) = 10x + 23y.

Börja med att rita några nivåkurvor till funktionen f(x, y), dvs kurvor på vilka funktionen f(x, y) antar konstant värde, tex

f(x, y) = -2300

f(x, y) = 0

f(x, y) = 2300

f(x, y) = 4600 

f(x, y) = 6900

f(x, y) = 9200

f(x, y) = 11500

f(x, y) = 13800

Dessa kurvor är alla räta linjer. Som exempel tar vi det andra alternativet 

f(x, y) = 0, dvs 10x + 23y = 0, vilket är linjen y = -(10/23)x. Rita den i figuren.

jag förstår inte direkt hur jag ska göra. Ska jag sätta funktionen z=10x+23y till 0?

Ja, det kommer att ge dig ett linjärt samband mellan x och y som lyder 0 = 10x + 23y. Rita motsvarande räta linje i koordinatsystemet.

Sätt sedan z till 100, villet ger dig ett annat linjärt samband mellan x och y. Rita in även det i koordinatsystemet.

Sätt sedan z till 500, vilket ger dig ... (o.s.v.)

När du har ritat 2-3 sådana linjer så kanske du upptäcker vissa likheter mellan linjerna?

Och du kanske ser hur trenden ser ut, dvs ju större z blir desto ...?

Jag ser att skärningspunkten vid x axeln alltid är 10 ggr mindre än z, medans skärningspunkten vid y axeln är 23ggr mindre.

Om 10x+23y=500 

då är x=50

y=500/23

om z=600

då är x=60

y=600/23 

z=700 

då är x=70

y=700/23 

Vad innebär detta? Hur hittar jag största möjliga arean?

Har du ritat linjerna?

• Om ja, visa dem.
• Om nej, gör det och visa dem.

Det är inte arean du ska beräkna, det är det största värdet av z du ska beräkna.

Här på bild (1) är z=800 
-

Här på bild (2) är z=700 

-

Här på bild (3) är z=500

Bra.

• Ser du några likheter mellan linjerna?
• Ser du något samband mellan linjernas placering och värdet på z?

Ja. Jag ser att värdet på x är 10 ggr mindre än värdet på z. Ex Om z är 500 då är x 50. 

Rita linjerna i samma koordinatsystem.

Linjerna är parallella 

Bra.

Ser du att de är parallella och att ju högre värde på z, desto längre till "höger och uppåt" ligger linjerna?

Japp det ser jag..

Bra. Då har du förstått det viktigaste.

Alla punkter på din röda linje ger värdet 800 på z.

Nästa steg är att fundera på hur du kan få så stort värde som möjligt på z. Det borde ju betyda att du ska ha en linje som ligger så långt till "höger och uppåt" som möjligt, eller hur?

Hur långt kan du gå åt det hållet utan att lämna det tillåtna området?

Vilka är x- och y-koordinaterna vid denna maxpunkt och vad är värdet på z vid denna punkt?

Jag förstår inte vad du menar med ”Alla punkter på din röda linje ger värdet 800 på z.”. 

—-

Jag antar att det största värdet på x är 10 och det största värdet på y är 23

Katarina149 skrev:

Jag förstår inte vad du menar med ”Alla punkter på din röda linje ger värdet 800 på z.”. 

Sambandet 10x + 23y = 800 kan representeras av en linje i ett x/y-koordinatsystem.

• Alla punkter (x,y) som ligger på den linjen uppfyller sambandet 10x + 23y = 800.

• Alla punkter (x,y) som uppfyller sambandet 10x + 23y = 800 ligger på den linjen.

—-

Jag antar att det största värdet på x är 10 och det största värdet på y är 23

Nej, fortsätt att rita linjer längre bort till "höger och uppåt" tills linjerna lämnar det givna området.

Visa en bild med den linje som fortafarande har kvar precis en punkt i området.

Jag testade med större värden på z... så blev graferna 

Bra.

Rita även in de två i uppgiften givna linjerna, som tillsammans med koordinataxlarna begränsar det tillåtna området.

Titta i figuren nedan. Kan du dra någon slutsats?

PATENTERAMERA skrev:

Titta i figuren nedan. Kan du dra någon slutsats?

Är detta inte linjär optimering eller? Känns helt förvirrande..

Jo, det är linjär optimering.

Det här tillhör väl matte 5 inte matte 3.? 

Jahaaa! Nu ser jag vad de egentligen skriver i frågan."... för de möjliga värdena på x och y som är markerade i koordinatsystemet ...".

De har markerat fyra punkter i koordinatsystemet.

Du ska helt enkelt ta reda på vilken av dessa fyra punkter som ger det största värdet på z.

Då är det en "TV-kocksvariant" på linjär optimering där allt är framkört till den sista enkla delen, nämligen att kontrollera målfunktionens värde i hörnpunkterna.

Haha. Jag tyckte det såg ut som området begränsat av linjerna och koordinataxlarna var blåskuggat, men det var kanske bara lite dålig bildkvalitet. Ja då blir ju problemet lite enklare. Tyckte annars att detta var ett ganska svårt problem för gymnasiet. Och lite otympliga siffror dessutom. Men nu har du hursomhelst fått en försmak av linjär programmering - och det kan väl aldrig skada.

Katarina149, hoppas du kan räkna ut problemet nu. Men säg gärna till om du behöver mera hjälp.