Största minsta värde, klot, flervariabel

Som vanligt: Har du ritat?

Ditt område är i första kvadranten, så vinkeln skall gå från 0 till $\frac{\pi}{2}$.

Varför inte använda sfäriska koordinater?

Smaragdalena skrev:

Som vanligt: Har du ritat?

Ditt område är i första kvadranten, så vinkeln skall gå från 0 till $\frac{\pi}{2}$.

Varför inte använda sfäriska koordinater?

Se svaret nedan, det är till en liknande uppgift. Sedan mitt försöka att efterlikna det.

Funktionen till 4.14 är: f(x,y,z)=x^2+2yz

Ser bra ut så långt, kan du förenkla uttrycket lite?

Använd $\sin(t)\cos(t)=\frac{1}{2}\sin(2t)$

Går det att göra något åt uttrycket under rottecknet?

I vilket intervall ligger $t$? Vilket $t$ bör vi välja för att maximera? Vilket värde ska vi slutligen välja för $r$?

D4NIEL skrev:

Ser bra ut så långt, kan du förenkla uttrycket lite?

Använd $\sin(t)\cos(t)=\frac{1}{2}\sin(2t)$

Går det att göra något åt uttrycket under rottecknet?

I vilket intervall ligger $t$? Vilket $t$ bör vi välja för att maximera? Vilket värde ska vi slutligen välja för $r$?

Tackar, då var jag inne på rätt spår. Förenklat uttryck:

Intervall för t borde vara: $0\le t\le \mathrm{\pi }/2$

Så välja t som maximerar uttrycket. Samt troligtvis välja r som 1. 

Men kopplar inte riktigt vilket värde på t som ska användas. Intuitivt antar jag att det är pi/8, men det är endast en chansning. 

Vad är standardmetoden när man vill ta reda på vilket (t ex) t som maximerar ett visst uttryck?

Jag tror du har slarvat lite under rottecknet

$\sqrt{1-r^2\cos^2(t)-r^2\sin^2(t)}=\sqrt{1-r^2}$

Så du borde få

$g(r,t)=\frac12 r^2 sin(2t)(\sqrt{1-r^2}+1)$

Det värde som maximerar $\sin(2t)$ är det värde som gör att sinusfunktionen antar värdet 1.

För vilket värde på $t$ i intervallet inträffar det?

När $\sin(2t)=1$ kvarstår att maximera

$\frac 12 r^2(\sqrt{1-r^2}+1)$

D4NIEL skrev:

Jag tror du har slarvat lite under rottecknet

$\sqrt{1-r^2\cos^2(t)-r^2\sin^2(t)}=\sqrt{1-r^2}$

Så du borde få

$g(r,t)=\frac12 r^2 sin(2t)(\sqrt{1-r^2}+1)$

Det värde som maximerar $\sin(2t)$ är det värde som gör att sinusfunktionen antar värdet 1.

För vilket värde på $t$ i intervallet inträffar det?

När $\sin(2t)=1$ kvarstår att maximera

$\frac 12 r^2(\sqrt{1-r^2}+1)$

Nu blev uttrycket enklare.

Så derivera, sätt = 0 lös ut r? 

Ja, det är bara att räkna ut $r$, eventuellt kan återsubstitutionen $z=\sqrt{1-r^2}$ och därmed $r^2=1-z^2$ göra livet enklare när du kommit en bit på vägen.