Största/minsta värde i kompakt mängd - hitta stationära punkterna

Som rubriken lyder så vet jag inte riktigt hur jag ska gå till väga för att hitta de stationära punkterna.
Jag löser ut de partiella derivatorna och får att:
$f'_{x} = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} + 1 f'_{y} = \frac{2 y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} + 1$
Sätter jag dessa lika med noll så får jag ett ekvationssystem som jag inte lyckas lösa, det känns som att det inte finns någon lösning då wolframalpha inte heller kan lösa det. Finns det andra sätt att lösa uppgiften på?

Du har rätt i att det inte finns några punkter där båda partiella derivator är noll. Men detta betyder inte nödvändigtvis att det inte finns någon stationär punkt. Du måste också undersöka ifall de partiella derivatorna är icke-definierade någonstans!

Dessutom har du randen att undersöka. Vad blir största respektive minsta värde där?

AlvinB skrev:
Du har rätt i att det inte finns några punkter där båda partiella derivator är noll. Men detta betyder inte nödvändigtvis att det inte finns någon stationär punkt. Du måste också undersöka ifall de partiella derivatorna är icke-definierade någonstans!
Dessutom har du randen att undersöka. Vad blir största respektive minsta värde där?

När jag parametriserar cirkelskivan så får jag:
$h_{1} (t) = f (\cos t, \sin t) = 2 \cdot 1 + \cos + \sin t h_{1}' (t) = - \sin t + \cos t, h'_{1} (t) = 0 g e r : \tan t = 1 \to t_{1} = \frac{π}{4}, t_{2} = \frac{5 π}{4}$

vilket ger det största värdet: $2 + \sqrt{2}$ och minsta värdet $2 - \sqrt{2}$

"Du måste också undersöka ifall de partiella derivatorna är icke-definierade någonstans!"
hur gör jag detta?

Krasten skrev:

...
"Du måste också undersöka ifall de partiella derivatorna är icke-definierade någonstans!"
hur gör jag detta?

Vad händer då x och y går mot 0?

Yngve skrev:
Krasten skrev:
...
"Du måste också undersöka ifall de partiella derivatorna är icke-definierade någonstans!"
hur gör jag detta?
Vad händer då x och y går mot 0?

När man beräknar de partiella derivatorna så får man fram att x=y och att x=0 är en lösning (som är en falsk rot) och redan där undersökte jag den stationära punkten (0,0) och kom fram till att derivatan inte är definierad i origo, räcker det som motivering eller behöver jag undersöka gränsvärdet för de partiella derivatorna när x och y går mot noll?

Hej!

Parameterisera hela området och inte bara dess rand.

Det ger $f(r,v)=F(x(r,v),y(r,v)) = r\cdot(2+\cos v+\sin v)=r(2+\sqrt{2}\sin(v+\pi/4))$ på det kompakta området

$E=\{(r,v)\,:\,0\leq r \leq 1 \text{ och } 0\leq v \leq 2\pi\}$ .

Du ser direkt att funktionens största och minsta värde antas på randen till $E$ (där $r=1$ ) och att de är $2+\sqrt{2}$ respektive $2-\sqrt{2}$ och antas i punkterna $(r,v) = (1,\pi/4)$ respektive $(r,v)=(1,5\pi/4)$ .

Svara

Visa senaste svar