största/minsta värde
Hej
jag har en uppgift där jag har lite svårt att förstå varför de lokala min/max värden inte gäller.
Uppgiften är:
Betrakta funktionen f som ges av f(x)=
Bestäm största/minsta värde samt bestäm värdemängden.
Jag började med att derivera och fick de kritiska punkterna x=1 och x=3
Jag fick sedan det lokala max till och lokalt min men i svaret står det att eftersom båda dessa värden ligger strikt mellan pi,-pi kan de inte vara största eller minsta värde till f eftersom f kan anta värden hur nära pi och -pi som helst, jag förstår inte riktigt vad som menas, hur kan man veta att dessa inte är de största och minsta värde? och värdemängden blir därför pi,-pi
Precis före din fråga står det "eftersom båda dessa värden ligger strikt mellan pi,-pi kan de inte vara största eller minsta värde till f eftersom f kan anta värden hur nära pi och -pi som helst" och det är ju svaret på frågan, så jag antar att något är oklart i den formuleringen. Hur mycket håller du med om av det som står?
jag förstår inte riktigt varför vi ska ta hänsyn till om det största och minsta värdet ligger inom -pi,pi, och hade något av största eller minsta värde ligga utanför -pi,pi skulle de då vara största/minsta värde? om vi tex skulle haft lokalt max 3+pi istället skulle det då varit ett maxvärde?
Det som står är att f kan anta värden som är hur nära pi som helst, men inte pi eller större än pi (om man använder tydligare intervallsymboler). Det betyder att om du har hittat ett lokalt maximum y1, så kan f ändå anta värden som ligger mellan y1 och pi och därmed är y1 inte ett globalt maximum.
Är det klarare?
Intervall brukar man ange med antingen vanliga eller hakparenteser, där vanliga betyder att ändvärdet inte ingår, och hakparenteser att det gör det. Så man kan också skriva "ligger i intervallet (-pi,pi)".
Om f hade varit sådan att den gick asymptotiskt mot pi när x går mot oändligheten (vilket den gör nu) och det fanns ett lokalt maximum som var större än pi (vilket det inte gör nu), så hade det lokala maximat varit ett globalt maximum.
Här är en plot från WolframAlpha. Du behöver alltså undersöka gränsvärdena för funktionen när x går mot + och - oändligheten också.
