Största gemensamma delare implikation
Hej, jag skulle uppskatta hjälp med att avgöra/bevisa huruvida nedanstående implikationer gäller eller inte när man talar om största gemensamma delare (gcd):
(1) gcd(a,b,c)=1 implicerar att gcd(a,b)=gcd(a,c)=gcd(b,c)=1?
eller att:
(2) gcd(a,b)=gcd(a,c)=gcd(b,c)=1 implicerar att gcd(a,b,c)=1?
Min tanke är att den den första implikationen (1) inte gäller, ty det räcker att en av gcd(a,b), gcd(a,c) och gcd(b,c) är lika med ett för att gcd(a,b,c) ska vara det också. Men däremot bör den andra implikationen (2) gälla. Stämmer detta? Och hur bör man bevisa detta på ett bra sätt?
Edit: Jag har kommit till underfund med hur jag ska motivera den första implikationen. Men för den andra tänkte jag anta att något primtal p delar a,b,c och härleda fram en motsägelse men har lite svårt att få till detta, är det någon som vill hjälpa mig med det?
Är det inte bara gå rakt på sak? Om p delar både a, b och c så delar det uppenbart a och b, så den kan inte vara 1.
Men i (2) ska väl implikationen stämma? Det vill säga p måste vara 1 eftersom om gcd(a,b)=gcd(a,c)=gcd(b,c)=1 så kan detta p omöjligen vara någonting annat. Eller har jag fel?
Jag visar implikationen genom att anta att högersidan inte är sann (gcd är p, inte 1), och då komma fram till att inte vänster heller kan vara sann. (eftersom p delar alla 3 delar den 2, så paren har inte gcd=1). Var nog lite otydligt förklarat.
Micimacko skrev:Jag visar implikationen genom att anta att högersidan inte är sann (gcd är p, inte 1), och då komma fram till att inte vänster heller kan vara sann. (eftersom p delar alla 3 delar den 2, så paren har inte gcd=1). Var nog lite otydligt förklarat.
Okej då förstår jag, det låter klokt. Tack så mycket för din hjälp!
