Största arean

En cirkelsektorn har omkretsen s l.e. Bestäm förhållandet mellan konstanterna r (radien) och b (båglängden) så att cirkelsektorn får så stor area som möjligt.

Jag har kommit fram till att cirkelns omkrets är vr + 2r = s. Förenklat till r(v+2) = s. Arean är sedan (vr^2)/2. Sedan kommer jag inte vidare. Jag tror att svaret ska vara förhållandet mellan radien och cirkelbågens längd.

Uppgiften ska ge ett A-poäng och ett C-poäng.

Tack på förhand!

Om $s$ är omkretsen $r$ är radien och $b$ är båglängden så gäller att:
$b = s - 2 r$

För att räkna ut arean kan vi ställa upp följande uttryck:
$A = \frac{b}{2 π r} \cdot π r^{2} = \frac{1}{2} b r = \frac{1}{2} s r - r^{2}$

Eftersom $s$ kan betraktas som en konstant kan detta uttryck deriveras med avseende på $r$ :
$\frac{d A}{d r} = \frac{1}{2} s - 2 r$

Arean maximeras när denna derivata är noll, d.v.s när
$r = \frac{1}{4} s$ .

Sätter vi in det i vårt första uttryck får vi att arean maximeras när
$b = s - 2 (\frac{1}{4} s) = \frac{1}{2} s$

Det betyder att arean maximeras när
$4 r = s = 2 b$

d.v.s. när
$\frac{r}{b} = \frac{1}{2}$

Svara