Storleksjämförelse av tal

God afton!

Jag har stött på patrull på följande uppgift och skulle behöva lite vägledning.

Vilket av talen $a^{2} + \frac{b^{2}}{2}$ och $a b$ är större när $a \neq 0, b \neq 0$ ? Lös uppgiften genom att undersöka differensen mellan talen. Exempel duger inte som motivering.

Har dessvärre inte kommit mycket längre än själva uppställningen. Om det finns flera olika lösningsmetoder så tar jag tacksamt emot dessa.

Lösning:

$a^{2} + \frac{b^{2}}{2} - a b = a^{2} - a b + \frac{b^{2}}{2} = ?$

Det är en bra början, men den behöver modifieras en aning. Skriv:

$a^{2}+\frac{b^{2}}{2}>ab$

Det är bara en gissning. Då kan du skriva om ekvationen till

$a^{2}+\frac{b^{2}}{2}-ab>0$ .

Skriv sedan allt på samma bråkstreck, och se om du kan bryta ut några variabler. Om du kommer fram till en motsägelse är antagandet vi gjorde falskt. Annars kommer du att komma fram till något som lätt går att bevisa (kan vara sådant som att $x^{2}+1>0$ ).

Kongo börjar helt rätt.

Studera

a^2 + b^2/2 - ab

Kvadratkomplettera

a^2 + b^2/2 - ab = (a-b/2)^2 - b^2/4 + b^2/2 = (a-b/2)^2 + b^2/4

Summan av två kvadrater är alltid ≥0. Eftersom b≠0 är b^2/4>0 varför uttrycket är > 0.

(Den första termen kan vara 0 även som a,b≠0.)

Egentligen tror jag boken avser att man ska faktorisera uttrycket medelst gruppering och dra slutsatser från det. Får försöka mer med det i morgon. Men det är alltid bra om man lyckas lösa uppgifterna med flera metoder.

Svara

Visa senaste svar